Extrempunkte des Graphen bestimmen/ berechnen

Question

des Graphen f(x) = x³ + 3x² -24x 

Wir sollen bei der hinreichenden Bedingung das Vorzeichenwechselkriterium verwenden. Danke für eine ausführliche Erklärung/Berechnung :)

Answer 1

f(x) = x³ + 3x² -24x  f'(x) = 3x^2 + 6x - 24 f´´(x) = 6x + 6 notwendige bedingung: f'(x) = 0 0 = 3x^2 + x -24 --> p-/q - formel

hinreichende Bedingung: f´´(x) ≠ 0 x- werte in f "(x) einsetzen, wenn f "(x) < 0 --> Hochpunkt                                                 wenn f "(x) > 0 --> Tiefpunkt

Answer 2

Wir sollen bei der hinreichenden Bedingung das Vorzeichenwechselkriterium
verwenden. Danke für eine ausführliche Erklärung/Berechnung :)

f ( x ) = x³ + 3x² -24x 
f ' ( x ) = 3x² + 6x - 24

Notwendiges Kriterium für einen Extrempunkt
f ´( x ) = 0

3x² + 6x - 24 = 0
x = -4
und
x = 2

Vorzeichenwechselkriterium
Das Vorzeichen der 1. Ableitung ändert sich
- bei Extrempunkten von ( - nach + ) oder ( + nach - )
- bei Sattelpunkten bleibt es gleich

Monotonie > 0 ( Vorzeichen + )

f ' ( x ) > 0
3x² + 6x - 24 > 0
x^2 + 2x - 8 > 0
x^2 + 2x + 1^2 > 8 + 1
( x + 1 ) ^2 > 9

x + 1 > 3
x > 2
und
x + 1 < -3
x < -4

Monotonie < 0 ( Vorzeichen - )

f ' ( x ) < 0
3x² + 6x - 24 < 0
x^2 + 2x - 8 < 0
x^2 + 2x + 1^2 < 8 + 1
( x + 1 ) ^2 < 9
-3 < x + 1 < 3
-4 < x < 2

Von
-∞ bis -4 : steigend ( Vorzeichen der 1.Ableitung + )
-4 .. 2 fallend ( Vorzeichen der 1.Ableitung - )
2 .. ∞ steigend  ( Vorzeichen der 1.Ableitung + )

x = -4 ist ein Extrempunkt und ein Hochpunkt
x = 2 ist ein Extrempunkt und ein Tiefpunkt

~plot~ x^3 + 3*x^2 - 24 * x ; [[ -5 | 5 | -30 | 80 ]] ~plot~