Analysis: Funktion 3. Grades nach Angaben aufstellen

Question

im Rahmen meiner Abi-Vorbereitungen bin ich gerade dabei einige Aufgaben zu lösen und komme leider nicht so gut voran. Die Aufgabenstellung ist : Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Der Graph G(f) der Funktion f verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Er hat im Punkt P(1/1) einen Hochpunkt und an der Stelle x=3 einen Wendepunkt. Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x). Mögliches Ergebnis: f(x)=1/7x³-9/7x²+15/7x

Danach muss man noch die Nullstellen der Funktion f berechnen. Dafür muss man ja erstmal eine Polynomdivision vornehmen, aber wie bekomme ich die Nullstelle raus, durch die ich den Bruch teilen soll?

ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

Comments

Ich würde auch gerne wissen, wie man auf die Funktion f kommt. Wäre super, wenn mir das jemand erklären kann. :-)

Answer 1

Da der Graph durch den Ursprung verläuft, kennst Du schon eine Nullstelle und die Polynomdivision kannst Du bereits durch Ausklammern von $x$ erledigen.

Answer 2

 "Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Der Graph G(f) der Funktion f verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Er hat im Punkt P(1|1) einen Hochpunkt und an der Stelle x=3 einen Wendepunkt."

$P(1|1)$ ist ein Hochpunkt

Ich verschiebe den Graph um eine Einheit nach unten $P´(1|0)$ ist nun eine doppelte Nullstelle.

$f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)$

$Q(0|0)$→ $Q´(0|-1)$

$f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=-a*N=-1$   →$a=\frac{1}{N}$

$f(x)=\frac{1}{N}*[(x-1)^2*(x-N)]$

$f´(x)=\frac{1}{N}*[(2x-2)*(x-N)+(x-1)^2]$

$f´´(x)=\frac{1}{N}*[2*(x-N)+(2x-2)+2x-2]$

an der Stelle $x=3$einen Wendepunkt:

$f´´(3)=\frac{1}{N}*[2*(3-N)+(2*3-2)+2*3-2]$

$\frac{1}{N}*[2*(3-N)+(2*3-2)+2*3-2]=0$  $N=7$   $a=\frac{1}{7}$

$f(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2*(x-7)$

Nun eine Einheit nach oben:

$p(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2*(x-7)+1$

Comments

Nullstellen:

$f(x)= \frac{1}{7} x³-\frac{9}{7} x²+ \frac{15}{7} x$

$\frac{1}{7} x³-\frac{9}{7} x²+ \frac{15}{7} x=0 |*7$

$x³-9 x²+ 15 x=0$

Satz vom Nullprodukt:

$x*(x^2-9 x+ 15 )=0$

$x_1=0$

$x^2-9 x=-15$

$(x-4,5)^2=-15+4,5^2=5,25 |\sqrt{~~}$

1.) $x-4,5≈ 2,3$

$x_2≈ 6,8$

2.) $x-4,5≈ -2,3$

$x_3≈2,2$