Extremwertaufgabe, Rechteck in ein gleichschenkliges Dreieck einschreiben

Question

Aufgabe:

Hallo

Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis a und der Höhe h ist ein Rechteck ein-
zubeschreiben. Wie hoch ist dieses im Verhältnis zur Dreieckshöhe, wenn:

a) sein Flächeninhalt

b) sein Umfang

möglichst gross sein soll?

Problem/Ansatz:

Mein Lösungsansatz:

Zielfunktion -> A = a*b

h = (√2/2) * a

U = 2a + 2b

h = (√2/2) * a => a = h2/√2

A = 1/2 ( h2/√2)² * b

U = 2a + 2b => a = (2b - U) / 2

U = ((2b - U) / 2) *b

Wäre das die Lösung ?

Comments

Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis a und der Höhe h ist ein Rechteck einzubeschreiben. Wie hoch ist dieses im Verhältnis zur Dreieckshöhe, wenn  b) sein Umfang möglichst gross sein soll?

Planfigur:

Zielfunktion:

\(U(u)= 4u+2(-\frac{2h}{a}\cdot u +h) \) soll maximal werden.

\(U(u)= 4u-\frac{4h}{a}\cdot u +2h \)

\(U'(u)= 4-\frac{4h}{a} \)

\(4-\frac{4h}{a}=0 \).

\(a=h \)

Hier ist nun das Dreieck im Rechteck. Das kann ja dann wohl nicht die Lösung sein!?

Aber wie ist die  Lösung ?

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Überlege: Welche Art von Funktion ist U? Was folgt daraus für die Frage nach Extrema. Oder überlege: Nach welcher Variable muss U'(u) aufgelöst werden? Oder skizzieren den Graphen von U.

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Leider komme ich auf keinen grünen Zweig.

Ich habe mal eine Parabel genommen, um den größten Umfang zu finden. Da klappt es.

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Es ist zwar ein uralte Frage an der sich niemand mehr interessiert...aber da gilt weiterhin: Der Antwortgeber antwortet nur, wenn er die (vermeintlich) Antwort kennt. Ansonsten sind Nachfragen über Kommentare zu erledigen oder gar mittels einer neuen Frage.

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@moliets

Denke mal an Randextrema. Es gibt da ein schönes Programm namens Geogebra. Modelliere dir damit ein Dreieck mit

a=h

a<h

a>h,

füge das Rechteck ein und variiere u.

Lasse dir dabei jeweils den Umfang U(u) anzeigen und sieh nach, wann der im jeweiligen Fall maximal wird.

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Es gibt da ein schönes Programm namens Geogebra.

Sieht das Bild nicht so aus wie von Geogebra erzeugt?

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Jetzt wo du es sagst...

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Die Funktion des Umfangs ist eine lineare Funktion. Die hat an den Grenzen des Definitionsbereiches das Maximum oder Minimum.

Ausnahme. Die Steigung ist 0 und man hat eine konstante Funktion, dann ist die Wahl von u.

U(u) = 2h + (4 - 4h/a)u

Konstant für 4 - 4h/a = 0 → a = h

U(0) = 2h + (4 - 4h/a)*0 = 2h

U(a/2) = 2h + (4 - 4h/a)*a/2 = 2a

Ist h > a sollte u = 0 gewählt werden, ist h < a sollte u = a/2 gewählt werden und ist a = h, dann ist es egal wie groß u gewählt wird, weil wir dadurch den Umfang nicht beeinflussen, da dieser konstant ist.

Für u = 0 oder u = a/2 ist das Rechteck allerdings entartet, weil entweder die Breite oder die Höhe 0 wird.

Answer 1

Ich stelle mir das eher anders vor

a)

f(x) = h - 2·h/a·x

A = 2·x·(h - 2·h/a·x) = 2·h·x - 4·h/a·x^2

A' = 2·h - 8·h/a·x = 0 --> x = a/4

f(a/4) = h/2

Die Höhe des Rechtecks sollte der halben Dreieckshöhe entsprechen, damit die Fläche des Rechtecks maximual wird.

Comments

Wie ergibt  sich die Höhe des Rechtecks aus 2·h/a·x ?

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Zeichne dir die Funktion

f(x) = h - 2·h/a·x 

in ein Koordinatensystem ein. Nehme dann mal Beispielswerte für h und a. Was ist das Für eine Funktion. Was modelliere ich damit?