Warum gibt es so viele verschiedene Darstellungsformen für Vektoren/Geraden?

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Hallo,

warum gibt es so viele verschiedene Darstellungsformen für Vektoren/Geraden. Parameterform, Koordinatenform, Achsenabschnittsform, Normalform, Hessesche Normalform ... Kann mir einer den Sinn dahinter erklären? Das raubt mir gerade irgendwie die Motivation zum Lernen, wenn ich 30 Seiten im Mathebuch nur die verschiedenen Darstellungsformen der Geraden lernen soll, obwohl mich eigentlich die praktische Anwendung von Vektoren interessiert. Wofür sind die verschiedenen Formen? Was kann man damit machen? Bitte motiviert mich ;)

Danke,

Grüße,

Thilo
Gefragt 9 Mär 2012 von Thilo87 Experte IV

1 Antwort

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Beste Antwort

Natürlich sind alle Formen auseinander herleitbar, also enthält keine Form mehr Informationen als die anderen - aber für manche Anwendungen sind manche Formen einfach besonders gut geeignet.

 

So ist die Achsenabschnittsform (wie der Name schon sagt) quasi dafür prädestiniert, die Achsenabschnitte einer Ebenen im Raum bzw. Gerade in der Ebenen zu finden.


Parameterform und Koordinatenform unterscheiden sich darin, dass es bei der Parameterform sehr einfach ist, Punkte auf der Geraden zu erzeugen aber sehr schwer zu überprüfen, ob ein gegebener Punkt darauf liegt, umgekehrt bei der Koordinatenform; da kann man sehr leicht Punkte einsetzen, um zu prüfen aber das Finden eines Punktes kann beliebig schwierig werden.

Die Normalform ist eigentlich nur eine kompakte Darstellung der Ebene und außerdem ein Übergangsschritt bei der schnellen Umformung von Parameterform in Koordinatenform.

Außerdem ergibt sich aus der Normalform aber die Hessesche Normalform, mit der man besonders einfach Abstände von Ebenen und Punkten ausrechnen kann.

 

Wenn man also erstmal das Prinzip der einzelnen Formen verstanden hat, ist es eigentlich relativ einfach, die Strukturen zu behalten:

Parameterform: Ein Stützvektor a, zwei Richtungsvektoren b und c => x = a + κ*b + λ*c

Daraus ergibt sich die Normalform, in dem man einen Stützpunkt wählt (z.B. a) und einen Vektor, der senkrecht auf der Ebenen steht, z.B. n =b x c => (x-a)*n=0

Multipliziert man das in die Komponentenschreibweise nach den Vektorgesetzen aus, so erhält man die Koordinatenform.

(Sei n=(n1, n2, n3), x=(x, y, z) und n*a = μ)

=> n1*x + n2*y + n3*z = µ

Die hessesche Normalform erhält man schließlich, wenn man die Normalform zusätzlich durch den Betrag von n dividiert, also

(x-a)*n/n = 0

Setzt man in den linken Term einen beliebigen Punkt x ein, so erhält man seinen Abstand zur Ebenen. (Für alle Puknte auf der Ebene ist das 0, also die Gleichung erfüllt.)

 

Beantwortet 10 Mär 2012 von Julian Mi Experte X
danke, das hat mir sehr geholfen :)

Tolle Antwort, endlich mal einer der aufklärt! 

Ich verstehe aber nicht den Abschnitt mit "Normalform, in dem man einen Stützpunkt wählt (z.B. a) und einen Vektor, der senkrecht auf der Ebenen steht, z.B. n =b x c => (x-a)*n=0".

Warum ist n =b x c senkrecht auf der Ebenen? Und wie kommt man von dort aus dann auf (x-a)*n=0 ?

1.) Warum ist n = b x c senkrecht auf der Ebenen?

Das ist gewissermaßen in der Definition des sogenannten Kreuzproduktes bereits inbegriffen.

Zunächst mal ist klar, dass b und  c  in der Ebenen liegen; sie sind ja die Richtungsvektoren in der Parameterdarstellung. Jeder Vektor, der sowohl senkrec ht zu b als a uch senkrecht zu c ist, ist also senkrecht zur Ebenen. 

Für zwei Vektoren b = (b1, b2, b3) und c = (c1, c2, c3) gilt:

b x c = (b2c3 - b3c2, b3c1 - b1c3, b1c2 - b2c1)

Berechnet man nun das Skalarprodukt

b * (b x c) = b1(b2c3 - b3c2) + b2(b3c1 - b1c3) + b3(b1c2 - b2c1)

= b1b2c3 - b1b3c2 + b2b3c1 - b2b1c3 + b3b1c2 - b3b2c1

= 0

dann sieht man, dass b senkrecht auf b x c steht. Analog für c.

 

2.) Warum genügt (x - a) * n = 0 um alle Vektoren x zu klassifizieren, die in der Ebenen liegen?

x - a ist der Vektor, der an der Spitze von a beginnt und bis zur Spitze von x zeigt. Wenn der Punkt mit dem Ortsvektor x in der Ebenen liegt, dann ist der Vektor x - a parallel zur Ebenen und damit senkrecht auf n, sodass

(x - a) * n = 0 

gilt.

Damit ist gezeigt, dass für alle Punkte der Ebenen diese Gleichung erfüllt ist. 

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