Ich soll die partikuläre Lösung mithilfe einer Formel herleiten.
Benutzen Sie die bei den Präsenzaufgaben angegebene Formel zur Berechnung einer partikulären Lösung von
\( x^{\prime \prime}-2 x^{\prime}+x=\frac{e^{t}}{t} \)
Formel:
\( x_{p}(t)=-x_{1}(t) \int \limits_{t_{0}}^{t} \frac{x_{2}(s) g(s)}{W(s)} d s+x_{2}(t) \int \limits_{t_{0}}^{t} \frac{x_{1}(s) g(s)}{W(s)} d s \)
ist eine partikuläre Lösung von \( x^{\prime \prime}+a x^{\prime}+b x=g(t) \), wobei \( x_{1} \) und \( x_{2} \) zwei unabhängige Basislösungen der homogenen Gleichung \( x^{\prime \prime}+a x^{\prime}+b x=0 \) sind und mit
\( W(s):=x_{1}(s) x_{2}^{\prime}(s)-x_{1}^{\prime}(s) x_{2}(s) \)
die sogenannte Wronski-Determinante bezeichnet wird. Dafür kann man zeigen, dass \( W(s) \neq 0 \) für alle \( s \) ist.
