Zeigen, dass die Abbildung Hom(W,K)->Hom(V,K), g->g*f linear ist

Question

Aufgabe:

Es seien die \( K \)-Vektorräume \( V \) und \( W \), sowie die lineare Abbildung \( f: V \rightarrow W \) gegeben. Zeigen Sie, dass die Abbildung:

\( f^{*}: \operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(W, \mathbb{K}) \rightarrow \operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(V, \mathbb{K}), \quad \phi \mapsto \phi \circ f \)

linear ist.

Answer 1

Erst mal "wohldefiniert" zeigen,
(ich nehme mal g statt Phi )
dass also für alle g aus Hom(W,K)
g ° f aus Hom(V,K) ist.
Das liegt daran, dass beide linear sind.


wie immer bei linear musst du dann zeigen:

f* ( g1+g2) = f*(g1) + f*(g2)  und   f*( a*g) = a* f*(g)
sei en also g1, g2 aus Hom(W,K)
dann ist für alle x aus V.

f * ( g1+g2) (x) = (g1+g2) ( f(x)) nach Def. von f*
= g1(f(x)) + g2(f(x)) nach Def. von + für Abbildungen
= f*(g1)(x) + f*(g2(x)) nach Def von f*
= (f*(g1)+f*(g2)) (x)
stimmt also.

und    f*( a*g) = a* f*(g) so ähnlich.