Injektiv Surjektiv Bijektiv -> Wie kann ich Funktionen darauf RECHNERISCH prüfen?

Question

ich versuche die ganze Zeit zu verstehen wie ich diese Aufgabe lösen kann. Wie kann ich es ausrechnen ohne einen Graphen zu zeichnen und was hat es mit dem R und R+ auf sich.

Mir ist die Bedeutung bewusst unzwahr zum Bsp. alle reelle Zahlen zu allen positiven reellen zahlen, aber wie rechne ich das aus in Bezug auf injektiv surjektiv ?

Hoffe ihr könnt mir bei der folgenden Rechnung helfen :

Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv oder bijektiv?

i.     f: R -> R              f(x)=3x+5
ii.    f:R -> R               f(x)=|x|
iii  . f:R -> R+            f(x)=|x|
iii.   f:R+ ->R+           f(x)=|x|

Answer 1

Gegeben sei eine Funktion \(f: A\rightarrow B\).
Injektiv bedeutet: \(f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \),
surjektiv bedeutet: \(\forall y\in B \exists x\in A: f(x)=y,\)
bijektiv bedeutet injektiv + surjektiv.

1)
Sei \(f(x)=f(y).\) Dann ist
$$3x+5=3y+5, \text { also } x=y.$$
Ist also injektiv. Sei \(y \in\mathbb R\) beliebig. Setzt man \(x=\frac{y-5}{3} \), liegt 1. x im Definitionsbereich und 2. gilt \(f(x)=y\). D.h. die Funktion ist auch surjektiv, also bijektiv. Mit den anderen Funktionen genau so.
2) Die Funktion ist weder surjektiv noch injektiv
3) Die FUnktion ist surjektiv, aber nicht injektiv
4) Die Funktin ist sowohl surjektiv als auch injektiv.

Comments

\(\mathbb R^+\) soll \((0,\infty)\) bedeuten, also alle positiven reellen Zahlen. Mit \(\mathbb R\) sind natürlich die rellen Zahlen gemeint, also \((-\infty,\infty)\).

Falls du das oben nicht verstanden hast, frag nach, dann erklär ichs ausführlicher.

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Ok, habe das mit "mir ist die Bedeutung zwar bewusst" überlesen.

Surjektiv bedeutet ganz einfach, dass alle Werte im Zielbereich auch tatsächlich von der Funktion "erreicht" werden. Die Betragsfunktion etwa bildet ja alle Zahlen auf nichtnegative Zahlen ab, d.h. wenn du die Funktion als Funktion von den reellen in die rellen Zahlen definierst, ist sie nicht surjektiv. Als Funktion in die positiven reellen Zahlen (auch mit Null) aber schon. Man spricht bei einer surjektiven Funktion \(f:A\rightarrow B\) auch von einer Funktion von \(A\) auf \(B\) statt in \(B\).

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Danke für die Hilfe, habe es verstanden. :)

Answer 2

einfach zwei verschiedene x-Werte denken und schauen, was passiert, wenn die
Funktionswerte gleich sind, etwa so

f(x) = f(a)

3x+5  = 3a + 5

3x = 3a

x=a

also  wenn Funktionswerte gleich sind, müssen auch Argumentwerte gleich sein

also injektiv

surjektiv:  kommt jeder mögliche y-Wert als Funktionswert vor ?

y aus R und   3x+5=y

also x = (y-5)/3  es gibt also ein x, dessen Funktionswert y ist,

also surjektiv.   also bijektiv

ii.    f:R -> R               f(x)=|x|

nicht injektiv, da f(1)=f(-1)  nicht injektiv, da zu  y=-1 kein x existiert

etc.

Comments

Danke für die Hilfe, habe es verstanden. :)