Komposition von drei Funktionen. Assoziativgesetz beweisen.

Question

Beweise, falls f: X -> Y, g: Y -> Z und Z -> W, dann (h∘g)∘f = h∘(g∘f).

Bitte kontrollieren.
((h∘g)∘f)(x) =
(h∘g)(f(x)) =
h(g(f(x))) =
h((g∘f)(x)) =
h∘(g∘f)(x)

Comments

Das ist nicht so einfach zu kontrollieren, da mE aus der Frage nicht hervorgeht, ob du die verwendeten Schritte benutzen darfst.

Ganz am Schluss würde ich noch ein Klammer ergänzen.

(h∘(g∘f))(x)

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Was meinst du genau? In meinem Skript habe folgendes stehen "Sei f: X -> Y und g: Y -> Z. Als Komposiotion der Funktion f und g bezeichnen wir eine Funktion f∘g: X -> Z defniert durch (g∘f)(x) = g(f(x)).

Darf ich es so machen wie ich das gemacht habe?

Answer 1

"Sei f: X -> Y und g: Y -> Z. Als Komposiotion der Funktion f und g bezeichnen wir eine Funktion f∘g: X -> Z defniert durch (g∘f)(x) = g(f(x))."

Das ist wichtig für deinen Beweis. Deswegen darfst du die Schritte alle machen.

((h∘g)∘f)(x) =
(h∘g)(f(x)) =
h(g(f(x))) =
h((g∘f)(x)) =
(h∘(g∘f))(x)

Du hast da alles richtig gemacht. Die Klammer gehört halt noch dazu, wenn man das streng formal sieht.

Bei jedem Schritt des Beweises benutzt du nur die Definition der Komposition der Funktion. Somit ist das alles legitim was du machst. Und auch gleichzeiting interessant, dass du nichts weiter brauchst. Und du gleich etwas Struktur mitgeliefert bekommst.