+1 Punkt
337 Aufrufe

Beweise, dass x^2 + y^2 + z^2 < xy + yz+ zx + z - x. Wenn 0<x<y<z<1.

Wie muss ich hier vorgehen, geht es das mittels Induktion?

von
Nein, mit Induktion geht es siher nicht. Aus welchem Stoffzusammenhang ist die Frage entstanden?

Leistungskurs Mathe, Abitur 13. Klasse, und niemand hat einen Plan :)

3 Antworten

+2 Daumen

Wegen  0<x<y<z<1

x2 + y2 + z2 < xy + yz+ zx + z - x

⇔ x2 -xy + y2 -yz + z2 -zx <  z - x


⇔ x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)  <  z - x

Wegen  0<x<y<z<1 sind die ersten beiden Klammern negativ und

da z < 1 ist gilt  z(z-x)  <  z - x; denn wenn man einen positiven Term

(und das ist ja z-x) weil x < z )  mit einem

positiven z < 1 multipliziert, wird er kleiner.

von 153 k

Meine Hochachtung. Exzellenter Beweis.

Ich habe es auch probiert, hatte aber einen sehr umständlichen Weg gewählt, der dazu noch in einer Sackgasse verlaufen war :(

Hi, man könnte auch so enden:

⇔ x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)  <  z - x

⇔ x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)  -(z - x)  < 0

x(x-y) + y(y-z) + (z-1)(z-x)  < 0

(negative Faktoren rot, positive grün)

Alle Summanden sind negativ.

0 Daumen

0 < x < y < z < 1
x^2 + y^2 + z^2 < xy + yz + zx + z - x

Richtig sind die Teilaussagen
1.) x^2 < xy da y > x
2.) y^2 < yz da z > y

Jetzt wäre noch zu zeigen
z^2 < zx + z - x
z^2 < x * ( z - 1 ) + z
z^2 - z < x * ( z - 1 )
z * ( z - 1 ) < x * ( z - 1) | durch ( z - 1 ) teilen. Da z-1 negativ ist Umkehrung von <
3.) z > x

Durch den Nachweis aller 3 Teilaussagen ist die
Gesamtaussage auch wahr.

von 83 k
0 Daumen
Hier eine einfachere und leichter einzusehende Beweisvariante:
$$
\text{Sei } 0 < x < y < z < 1.\text{ Dann gilt:}\\\,\\
x^2 + y^2 + z^2 < xy + yz + zx + z - x. \\\,\\
\text{Beweis: Die Aussage ist äquivalent zu }\\\,\\
0 < xy-x^2 + yz-y^2 + zx-z^2  + z - x \\\,\\
0 < x\cdot\left(y-x\right) + y\cdot\left(z-y\right) + \left(1-z\right)\cdot\left(z-x\right).\\\,\\
\text{Alle Faktoren sind nach Voraussetzung positiv.}
$$Beim Generieren von derartigen Aussagen kann man umgekehrt vorgehen.
von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...