Folgendes ist nur ein Hinweis:
Wenn man zunächst die Fälle ausschließt, bei denen ein oder mehrere Werte 0 sind, so kann man das ganze durch \(x^2y^2z^2\) dividieren und erhält$$\begin{aligned} x^{6} + y^{6 }+ z^{6} &\ge x^{4}yz + y^{4}zx + z^{4}xy \\ \frac{x^4}{y^2z^2} + \frac{y^4}{z^2x^2} + \frac{z^4}{x^2y^2} &\ge \frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{zx} + \frac{z^2}{xy}\end{aligned}$$Und dies hat die Form $$a^2+b^2+c^2 \ge a+b+c$$wobei zusätzlich \(a\cdot b \cdot c = 1\) ist. Also kann man schreiben$$a^2 + b^2 + \frac 1{a^2b^2} \ge a + b + \frac 1{ab}$$was für \(a,b \in \mathbb{K}\) zu beweisen wäre.
.. vielleicht hilft es, sieht zumindest handlicher aus, als die Ausgangsgleichung ;-)
