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Hallo liebe Leute,

ich beschäftige mich jetzt gerade mit dem totalen Differential und folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie das vollständige Differential und berechnen Sie die Funktion:

Bild Mathematik

Zunächst habe ich also die partiellen Ableitungen gebildet:

fx=x3+xy2xfxy=2xyfy=x2y+y3+yfyx=2xy{ f }_{ x }={ x }^{ 3 }+x{ y }^{ 2 }-x\longrightarrow { f }_{ xy }=2x{ y }\\ { f }_{ y }={ x }^{ 2 }y+{ y }^{ 3 }+y\longrightarrow { f }_{ yx }=2x{ y }

Da f_xy=f_yx =>Totales Differential

Nun zum Berechnen der Funktion:

fx=g(x,y)fy=h(x,y)f(x,y)=g(x,y)dx+C1+C1(y)=(x3+xy2x)dx+C1+C1(y)=x44+x2y22x22+C1+C1(y)f(x,y)=h(x,y)dx+C2+C2(x)=(x2y+y3+y)dx+C2+C2(x)=y2x22+y44+y22+C2+C2(x){ f }_{ x }=g(x,y)\\ { f }_{ y }=h(x,y)\\ \\ f(x,y)=\int { g(x,y)dx+{ C }_{ 1 }+{ C }_{ 1 }(y) } =\int { ({ { x }^{ 3 }+x{ y }^{ 2 }-x })dx+{ C }_{ 1 }+{ C }_{ 1 }(y) } =\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 1 }+{ C }_{ 1 }(y)\\ f(x,y)=\int { h(x,y)dx+{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 2 }(x) } =\int { ({ x }^{ 2 }y+{ y }^{ 3 }+y)dx+{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 2 }(x) } =\frac { { y }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { y }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 2 }+{ C }_{2 }(x)

Gleichsetzen:

x44+x2y22x22+C1+C1(y)=y2x22+y44+y22+C2+C2(x)x44x22+C1+C1(y)=y44+y22+C2+C2(x)\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 1 }+{ C }_{ 1 }(y)=\frac { { y }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { y }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 2 }(x)\\ \Longleftrightarrow \frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 1 }+{ C }_{ 1 }(y)=\frac { { y }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 2 }(x)

Wie kann ich denn hier weitermachen?

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"Bestimmen Sie das vollständige Differential und berechnen Sie die Funktion: ..."

Der zweite Teil ist ja wohl so Quatsch, wenn die Funktion unmittelbar folgt. Was soll man denn da noch berechnen? Bitte eine korrekte Aufgabenstellung.

1 Antwort

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und berechnen Sie die Funktion:

Welche Funktion ?!

Was man berechnen könnte, wären die kritischen Stellen, also wo die ersten Ableitungen Null sind.

f(x,y)x=0 \frac {\partial \, f(x,y)}{\partial x}=0

f(x,y)y=0 \frac {\partial \, f(x,y)}{\partial y}=0

Dann noch die Hesse-Matrix, (2. Ableitungen), um zu prüfen, welche Eigenschaften die kritischen Stellen haben.

(2f(x,y)xx2f(x,y)xy2f(x,y)yx2f(x,y)yy)\begin{pmatrix} \frac {\partial^2 \, f(x,y)}{\partial x \, \partial x} & \frac {\partial^2 \, f(x,y)}{\partial x \, \partial y} \\ \frac {\partial^2 \, f(x,y)}{\partial y \, \partial x} & \frac {\partial^2 \, f(x,y)}{\partial y \, \partial y} \end{pmatrix}

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