Überprüfen meiner Ergebnisse (Konvergenz von Reihe durch Vergl.Kriterium)

Question

Ich habe folgende Reihe so als konvergent oder divergent bewertet und möchte von euch überprüft haben ob meine Argumentation wahr ist über mein Antwort

1/10n:

kann man als 1/10* Reihe 1/n betrachten und da diese divergent ist, ist die Reihe divergent.

sin(1/n):

Wenn man sin(x) betrachtet, ist sie ≥ 1 für alle x und wenn man jetzt sin(1/n) ≥ 1/n ist die Reihe laut Vergl. Kriteriumn(Minor) divergent

sin(1/n^2):

1/n^2 konvergiert gegen π^2/6, also konvergiert diese Reihe

sin(π/n^{1/2}):

wenn man π Reihe 1/n^{1/2} betrachtet, divergiert diese, also auch Reihe sin(π/n^{1/2})

sin^2(1/n):

vergleicht man dies mit sin(1/n^2), gilt sin^2(1/n) ≤ sin(1/n^2) für fast alle n also ist die Reihe konvergent

(1-cos(1/n)):

cos(x) ≤ 1 für alle x, stellt man das um ist 1-cos(x) ≤ 0 deshal konvergiert auch 1-cos(1/n)

1/((2n+3)^2):

vergleiche dies mit eine konvergente Reihe 1/n(n+1). Es gilt 1/((2n+3)^2) ≤ 1/n(n+1) also ist die Reihe konvergent.

4/(n^2-n+1):

Betrachtet man nur 1/(n^2-n+1) ist dies ≤ 2/(n(n+1)) für fast alle n also ist die Reihe konvergent

e^{1/n^2}-1:

limes 1/n^2 ist 0 und e^0 ist 1, 1-1 = 0 also ist die Reihe konvergent mit e^{1/n}-1

Answer 1

Gut gemeinter Tipp: Schau Dir noch mal genau an, was Reihen sein sollen. Mir duenkt, Dir ist das alles andere als klar. Schreibe nicht "Reihe 1/n", sodern \(\sum1/n\), etc. Und schreibe schon gar nicht einfach \(1/n\), wenn \(\sum1/n\) gemeint ist.

Davon abgesehen ist die erste Teilaufgabe richtig geloest. Vom Rest ist fast alles, im Prinzip wirklich alles, falsch. Schau Dir den Reihenbegriff noch mal an!

Konkret zur zweiten Teilaufgabe: Tastaechlich gilt nicht \(\sin 1/n\ge1/n\), sondern gerade \(\sin1/n<1/n\). Es gilt aber \(\sin1/n>1/(2n)\). Damit geht das Minorantenkriterium durch.

Comments

Könntest du dann halt paar Beispiele für richtig erklärte Reihe zeigen? Weil das ist ziemlich das beste was aus mehr stündige Lernen rausgekommen ist, da ich keine eindeutiges Beispiel gesehen habe.

Answer 2

sin(1/n²):

1/n² konvergiert gegen π²/6, also konvergiert diese Reihe. falsch.

Da hattest du auch schon bei dem vorigen Teil falsch argumentiert.

Für kleine positive Werte ( und das ist ja 1/n^2 ) liegt immer x zwischen

sin(x) und tan(x), also   hier  

sin(1/n²)  <  1/n^2  < tan(1/n^2) =  sin(1/n²)/ cos(1/n²)  < (1/n²) / 0,5 = 2 / n²

( Denn für kleine Werte von x ist cos(x) > 0,5 )

Du hast also auch hier ( s. Tipp aus der anderen Lösung)

sin( 1 / n^2 )   <  2/n²  und da die zugehörige Reihe auch konvergiert,

ist es eine konvergente Majorante, und deshalb konvergiert deine Reihe auch.

sin(π/n^1/2):

wenn man π Reihe 1/n^1/2 betrachtet, divergiert diese, also auch Reihe sin(π/n^1/2)

So kannst du nicht argumentieren, deine Reihe ist ja (für große n) eine Minorante von

der  Reihe π *1/n^1/2 .

sin²(1/n):

vergleicht man dies mit sin(1/n²), gilt sin²(1/n) ≤ sin(1/n²) für fast alle n also ist die Reihe konvergent.

Das ist richtig; denn für Zahlen x zwischen 0 und  1 gilt   x^2 < x .

(1-cos(1/n)):

cos(x) ≤ 1 für alle x, stellt man das um ist 1-cos(x) ≥ 0    falsch deshal konvergiert auch 1-cos(1/n)

Probiere es mal mit  sin^2( 1/2n) = ( 1 - cos( 1/n) ) / 2

1/((2n+3)²):

vergleiche dies mit eine konvergente Reihe 1/n(n+1). Es gilt 1/((2n+3)²) ≤ 1/n(n+1) also ist die Reihe konvergent.    Finde ich richtig.

4/(n²-n+1):

Betrachtet man nur 1/(n²-n+1) ist dies ≤ 2/(n(n+1)) für fast alle n also ist die Reihe konvergent

Finde ich richtig.