Berechnung schiefwinkliges Koordinatensystem, Basis, Einheitsvektoren, Längen

Question

Ein schiefwinkliges Koordinatensystem sei durch die Basis \( B \) aus

\( \vec{b}_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \quad \vec{b}_2 = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \quad \vec{b}_3 = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \)

gegeben. Bezüglich dieses Koordinatensystems werden die Vektoren \( \vec{v} \) und \( \vec{w} \) dargestellt durch

\( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix}_B \) und \( \vec{w} = \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}_B \)

(a) Wie lauten die Darstellungen von \( \vec{v} \) und \( \vec{w} \) bezüglich der Basis \( E \) aus Einheitsvektoren?

(b) Welche Länge haben \( \vec{v} \) und \( \vec{w} ? \)

Answer 1

a*[1,0,1] + b*[0,1,1] + c*[1,1,0] = [2,0,1]
Das LGS liefert die Lösung: a = 3/2 = 1.5 ∧ b = -1/2 = -0.5 ∧ c = 1/2 = 0.5
v = 1.5*[1,0,1] - 0.5*[0,1,1] + 0.5*[1,1,0]

a*[1,0,1] + b*[0,1,1] + c*[1,1,0] = [1,-1,0]
Das LGS liefert die Lösung: a = 1 ∧ b = -1 ∧ c = 0
w = 1*[1,0,1] - 1*[0,1,1] + 0*[1,1,0]

Mir ist leider entfallen wie die Längen genau definiert waren. Vielleicht kann da jemand auf die Sprünge helfen. Vielleicht sogar du selber, wenn du mal in den Unterlagen nachschaust.