Potenzreihen. Geometrische Reihen Aufgabe 1 und 2 mit Spirale

Question

ich lerne zurzeit für meine Klausur für Mathe 2 im Studium. und habe Probleme mit Potenzreihen etc.

Aufgabenblatt 3.pdf (19 kb)

Die 1. und die 2. Aufgabe

Das wäre echt nett,

Comments

Vielleicht gehen die Probleme mit der Erkenntnis weg, dass es da gar nicht um Potenzreihen geht?

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Schau mal bei "geometrische Reihen" in deinen Unterlagen oder im Skript.

Benutze bei 1. das Bruchrechengesetz

(a + b)/c = a/c + b/c

und dann Potenzgesetze.

1/a^n = (1/a)^n

und

a^n/b^n = (a/b)^n

Answer 1

1.

Benutze

(5^n - 1)/(3·2^{3·n}) = 1/3·(5/8)^n - 1/3·(1/8)^n

∑ (n = 1 bis ∞) (1/3·(5/8)^n - 1/3·(1/8)^n) = 32/63

2.

∑ (n = 0 bis ∞) (pi·(3/4)^n·a) = 4·pi·a

Answer 2

Deine Reihe ist das gleiche wie
$$ \frac { 1 }{ 3 } * \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { { 5 }^{ n } - 1}{ { 2 }^{ 3n} }}$$
$$ = \frac { 1 }{ 3 } * \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { { 5 }^{ n } - 1}{ { 8 }^{ n} }}$$
$$ = \frac { 1 }{ 3 } * \sum_{n=1}^{\infty}{ { (\frac { 5 }{ 8 }) }^{ n } - { (\frac { 1 }{ 8 } ) }^{ n}}$$
und dann sind es zwei geometrische Reihen
$$ = \frac { 1 }{ 3 } *  (\sum_{n=1}^{\infty}{ { (\frac { 5 }{ 8 }) }^{ n } - \sum_{n=0}^{\infty}{ (\frac { 1 }{ 8 } ) }^{ n}}) $$
also nach der Formel 1 / ( 1-q)
$$ $$
1/3 * ( 1 / (1 - 5/8)   -   1 /  ( 1 - 1/8) ) =
1/3 * ( 8/3  -  8/7 ) =
1/3 * 32/21  =   32/ 63