Gib die Scheitelpunktkoordinaten und die Gleichung der Parabel an (Steckbrief Parabeln)

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Hallo :) Die ganzen Videos zu Quadratischen Funktionen sind wirklich gut! Es ist alles langsam und gut erklärt worden :) Dennoch habe ich auch noch eine Frage: Wir haben "Steckbriefe" von Parabeln bekommen.

In der Aufgabe steht: Gib die Scheitelpunktkoordinaten und die Gleichung der Parabel an.

1. nach oben geöffnet
2. mit Faktor 1/2 gestaucht
3. Nullstellen: 2 und 6

Ich weiß wohl,dass die Gleichung so anfängt: 1/2x² weiter aber nicht :(

Wie kann ich denn aus den Nullstellen die Gleichung herleiten?

Vielen Dank schonmal :)
Gefragt 25 Sep 2012 von Gast hj2333

2 Antworten

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Das wird ausführlich im Video Quadratische Funktionen Teil 7: Linearfaktoren (nicht gratis) erklärt.

Durch die bekannten Nullstellen kannst du aufstellen: f(x) = a*(x - 2)*(x - 6)

Dann noch a = 1/2 als Stauchung/Streckung eintragen, und die fertige Formel lautet: f(x) = 1/2*(x - 2)*(x - 6)


Wenn du möchtest, kannst du auch noch ausmultiplizieren:

f(x) = 1/2*(x - 2)*(x - 6)

f(x) = 1/2*(x*(x - 6) - 2*(x - 6))

f(x) = 1/2*(x*x - x*6 - 2*x + 2*6)

f(x) = 1/2*(x² - 6x - 2x + 12)

f(x) = 1/2*(x² - 8x + 12)

f(x) = 1/2x² - 4x + 6

 

Der Graph sieht so aus:

funktionsgraph der parabel

Beantwortet 25 Sep 2012 von Matheretter Experte V
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Es gibt zwei Herangehensweisen.

1) Du setzt vorraus, dass die Lösung eine Gleichung der Form

y = 1/2x2 + ax + b

ist und setzt dann die beiden bekannten Punkte ein (nämlich (2,0) und (6,0))

Das sieht folgendermaßen aus:

0 = 1/2 * 22 + a*2 +b  (I)

0 = 1/2 *62 + a*6 + b  (II)

Zieht man die erste Gleichung von der zweiten ab, so erhält man:

0 = 1/2*62 - 1/2*22 + 6a - 2a

0 = 18 - 2 + 4a  | -16

-16 = 2a | :4

a = -4

Durch Einsetzen von a in (I) kann man dann b ausrechnen:

0 = 1/2 * 22 + (-4)*2 + b

0 = 2 - 8 + b | +6

6 = b

Die komplette Gleichung lautet also:

y = 1/2 x2 - 4x + 6

 

2) Jedes Polynom n-ten Grades, also jeder Term der Form

a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... anxn

der genau n Nullstellen hat, lässt sich in seine sogenannten Linearfaktoren zerlegen, das heiß auf die folgende Form bringen:

a*(x-x01)(x-x02)(x-x03)...(x-x0n)

 

In diesem Fall bedeutet das:

y = 1/2 * (x-2) * (x-6)
y = 1/2 * (x2 - 2x - 6x + 12)

y = 1/2*x2 - 4x + 6

 

Natürlich kommt auf beiden Wegen das gleiche raus. Die Frage ist nur, welcher Weg dir besser liegt und welchen Ansatz du dir besser merken kannst.

 

 

Beantwortet 25 Sep 2012 von Julian Mi Experte X

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