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, wir haben gerade das Thema  Stochastik neu , kann mir jemand bei Nr 8 helfen und erklären warum das denn so ist ?Bild Mathematik

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(4) ist ok.

(6) kann man mit dem Erwartungswert nachrechnen.

Er gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 die 5 Euro des andern und verliert mit der Wahrscheinlichkeit 5/6 seinen einen Euro.

Im Schnitt wird er mit dieser Strategie

E(Gewinn des jemand) = 1/6 * 5 - 5/6 * 1 = 0 Euro gewinnen. 


Der Rest stimmt nicht. Zum Teil kann man mit Einfügen von "ungefähr" die Aussagen retten. Aber in der Regel sind sie schlicht falsch. 

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@Lu
(3) müßte auch stimmen.

1.Wurf
keine 3 : 5/6 = 83.3 %
eine 3 : 17.7 %

2.Wurf
keine 3 : (5/6)^2 = 69.4 %
Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis hat um 13.9 % abgenommen
Für eine 3 : um  13.9 % zugenommen : 30.6 %

3.Wurf
keine 3 : (5/6)^2 = 57.87 %
Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis hat um 11.6 % abgenommen
Für eine 3 : um  11.6 % zugenommen : 42.2 %

Die Wahrscheinlichkeit das nach einer Serie " keine 3 " die 3 gewürfelt
wird wird also immer höher.

zu (3): Warum sollte die Wahrscheinlichkeit für eine 3 im n-ten Wurf irgendwie von den Ergebnissen vorheriger Würfe abhängen? (3) ist falsch.

Meine Überlegungen habe ich doch angeführt.
Wo ist bei mir ein Denkfehler ?

Abgesehen von einigen Detailfehlern berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines ganz anderen Ereignisses als in der Aufgabe beschrieben. Du berechnest mit \((5/6)^n\) die Wahrscheinlichkeit dafür, in \(n\) Würfen keine 3 zu erzielen. Dazu bestimmst du dann die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, nämlich in \(n\) Würfen mindestens eine 3 zu erzielen. Natürlich nimmt diese Wahrscheinlichkeit mit größer werdendem \(n\) immer mehr zu, aber das war nicht die gefragte Wahrscheinlichkeit.

Ich würde eigentlich nur 4 als richtig ansehen.

Was ist wenn ich sagen würde: Wenn jemand 1 Euro darauf wettet, dass beim nächsten mal eine 3 fällt kann man 4 Euro dagegen setzen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit 1/4.

Aus einem Experiment selber kann man nichts schließen. Aussagen über die Wahrscheinlichkeit bekommt man nur dadurch das man das Experiment sehr sehr oft durchführt.

Mit dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich dann die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit an.

Oder anders gesagt. Die Wahrscheinlichkeit bestimmt den Einsatz den wir setzen müssten damit ein Spiel fair ist aber der Einsatz bestimmt nicht die Wahrscheinlichkeit. 


Und georgborn:

Als ich das letzte mal im Casino war ist beim Roulette zufällig 10 mal hintereinander die Farbe schwarz gefallen. Da hab ich mir natürlich überlegt mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das nächste mal die Farbe rot fallen ?

a) ca. 48.7%

b) ca. 50%

c) ca. 51.3%

d) > 52%

Ich möchte dir nochmals meine grundsätzliche Überlegung erläutern.
Jetzt mit einer Münze oder Alterantive 0 und 1.
Bei jedem Wurf ist die Einzelwahrscheinlichkeit für 0 oder 1 : 1/2.

Für eine Reihe von Würfen sieht die Wahrscheinlichkeit aber anders aus.

10 Würfe :
Die Wahrscheinlichkeit für
0000000000 : 10 mal die 0 ist 1/2^10.

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal die Null und  5 mal die 10 ist schon fast 100 %.
( Je mehr Würfe desto mehr nähert sich die Wahrscheinlichkeit 100 %  an )

Auch das zufällige Ereignis " Einzelwurf " wird sich in einer Reihe von Würfen
dem wahrscheinlicheren  Ergebnis 50 / 50 annäheren.

Deshalb ist es wahrscheinlicher das nach 10 Würfen mit 0 das nächste Ergebnis " 1 "
ist.

Eine Übertragung auf das Würfelbeispiel der Frage ist zulässig.

Deshalb ist es wahrscheinlicher das nach 10 Würfen mit 0 das nächste Ergebnis " 1 " 
ist.

Lass das nur keinen Mathematiklehrer hören. Diese Aufgabe gehört fast schon zu jeder Hauptschulprüfung im Bereich Wahrscheinlichkeit. 

Du hast doch bereits so viele Arbeiten durchgerechnet. Da sollte dir aufgefallen sein das die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei einer fairen Münze immer 1/2 ist egal wie oft schon geworfen wurde und was dabei gefallen war.

DER ZUFALL HAT KEIN GEDÄCHTNIS !

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal die Null und  5 mal die 1 ist 24,6% also so ziemlcih das Gegenteil von schon fast 100 %. 

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal die Null und  5 mal die 10 ist schon fast 100 %

Aber auch nur fast ... hier die genaue Rechnung.

COMB(10, 5)·0.5^10 = 24.61%

Man versteht mich hier in nahezu grotesker Weise miß.

Gemeint war :
die Summe der Nullen und Einsen bei 10 Würfen ist etwa 5
die Summe der Nullen und Einsen bei 100 Würfen ist etwa 50
die Summe der Nullen und Einsen bei 1000 Würfen ist etwa 500

Oder ?

Die Wahrscheinlichkeit für jeden Einzelwurf beträgt 1/2 für 1 oder 0.

Ich rede nicht über den Einzelwurf sondern über Reihen.

Ich behaupte die Reihe 0000000000 ( Wert 0 ) hat einen Hang sich früher
oder später dem mittleren Wert ( 5 oder 50 oder 500 ) anzunäheren.

Aus diesen Überlegungen heraus halte ich als nächsten Wurf die 1 für
wahrscheinlicher als die 0.

Das war du beschreibst ist eine Bernulli-Kette und die folgt einer Binomialverteilung. Jedes herausgegriffene Einzelexperiment hat eine feste nicht veränderbare Einzelwahrscheinlichkeit. Beim Münzwürf z.B. 50%. Der Erwartungswert nach der Binomialverteilung ins immer n * p. Das ist das Ereignis mit der größten Wahrscheinlichkeit. Diese Wahrscheinlichkeit nimmt aber mit zunehmendem n ab.

Sind es bei 2 Würfen für 1 mal Kopf noch 50% so sind es bei 10 Würfen und 5 mal Kopf nur noch 24.61%. Und bei 100 Würfen und 50 mal Kopf nur noch 7.96%.

Wenn bei 100 würfen 99 mal Kopf gefallen ist dann liegt die Wahrscheinlichkeit für Zahl beim nächsten Wurf trotzdem nicht über 50% auch wenn sich einige das so Wünschen würden. Denn die Wahrscheinlichkeit von 99 mal kopf und einem darauf folgenden Zahlwurf hat die gleiche Wahrscheinlichkeit wie 100 kopfwürfe.

Schönen Dank für deinen sachlichen Kommentar.

Ich habe aber nicht gesagt das die Wahrscheinlichkeit  bei 100 Würfen 50 mal
Kopf ist sondern das die Aufsummierung der Nullen und Einsen etwa 50
ergibt.

georgborn: (3) Nein: Faire Würfel haben kein Gedächtnis. 

Mathecoach und gast: Danke für die Anmerkungen. Ja. Wetten haben eigentlich mit Wahrscheinlichkeit nichts zu tun. Ich habe (6) oben nicht als ok bezeichnet. Hätte das vielleicht klarer schreiben sollen. 

@georgborn
Ich bin gerade durch Zufall auf diese alte Frage gestossen und für mich sieht das so aus, als ob das immer noch nicht geklaert waere.

Ich habe dazu selbst ein Beispiel, ist mir wirklich so passiert:

Ein Arbeitskollege hat mir mal gesagt, er habe ja schon 10 mal beim Lotto verloren, dann muesste er doch jetzt mit einer groesseren Wahrscheinlichkeit gewinnen.
Das entspricht in etwa der Aussage 3)

Natuerlich ist seine Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu gewinnen groesser, wenn er 10mal spielt, anstatt dass er nur einmal spielt.
Genauso ist natuerlich bei n Wuerfen, die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 3 groesser.

Hier geht es aber darum, dass er schon 10mal gespielt und verloren hat. Das naechste Lottoereignis an sich ist ja genau so wahrscheinlich wie die anderen vorher.
Ebenso beeinflussen die n Wuerfe vorher den naechsten Wurf nicht.

Das Problem ist, dass wir auf dem Baum "verloren / nicht verloren" bzw. "3 / keine 3" schon ein Stueck des Weges gegangen sind und von diesem Punkt aus, ist ja wieder alles gleich wahrscheinlich. Es ist war zwar relativ unwahrscheinlich, dass es 6 mal keine 3 gibt, aber dieses Ereignis ist ja schon eingetreten.

Etwas mathematischer ausgedrueckt:

Man hat als Ergebnis schon

{ keine 3; keine 3; keine 3; keine 3; keine 3; keine 3}

Jetzt ist die Frage, wie wahrscheinlich ist, dass es sich zu

{ keine 3; keine 3; keine 3; keine 3; keine 3; keine 3; keine 3}

oder

{ keine 3; keine 3; keine 3; keine 3; keine 3; keine 3; 3}

entwickelt. Die Wahrscheinlichkeiten sind gleich zu denen ob beim ersten Wurf eine 3 oder keine 3 faellt.

Gruss
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Ein kleiner Anhaltspunkt: Umso häufiger du würfelst, desto mehr nähert sich der Wert dem Ausgangswert an. Wenn du 600-mal würfelst, wird die Zahl 3 ungefähr 100-mal auftreten. Wenn du noch mehr würfelst als 600-mal, wirst du ein noch exakteres Ergebnis haben. Der Endwert nähert sich immer mehr dem ursprünglichen Verhältnis 1/6 an.

Kleiner Schreibfehler:-)

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Wenn man öfter als 600 sollten mehr als 100 3'er rauskommen.

Hallo Amiens, du solltest vielleicht genauer erklären was du mit "exakter" meinst. Außerdem sind solche Begriffe wie Ausgangswert und Endwert irgendwie in diesem Kontext unvorteilhaft.

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