Linearfaktorzerlegung Funktion

Question

Was ist die Linearfaktorzerlegung von f(x)=x⁴-5x³+7x²-3x ?

Schon mal Danke ! :)

Answer 1

f(x) = x • (x-3) • (x-1)²

f(x) = x • (x³ - 5x² + 7x - 3) ist klar.

Nullstelle x₁  des Klammerterms raten -> Faktor (x - x₁)

Polynomdivision     Klammerterm : ( x - x₁)   = Quadratischer Term

Nullstellen des Quadatischen Terms ergeben ggf. die beiden restlichen Linearfaktoren

Answer 2

f(x) =x⁴-5x³+7x²-3x

f(x)=x(x³-5x²+7x-3)

weiter mit Polynomdivision

f(x)=x(x-3)(x-1)²

Answer 3

x(x-3)(x-1)²

Du Musst einfach alle 4 Nullstellen finden.

Comments

Danke,aber mein GTR hat mir nur 1 Nullstelle ausgerechnet. Mit welcher Formel kann ich die Nullstellen denn ohne GTR ausrechnen? Mit pq-Formel bin ich nicht weitergekommen.

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x⁴-5x³+7x²-3x 

Hier zuerst x ausklammern:

x(x³ - 5x² + 7x - 3)   Jetzt müssen alle ganzzahligen Nullstellen Teiler von 3 sein also entweder 1, -1, 3, -3 und nur diese kommen in Frage.

Jetzt kannst du mit Polynomdivision schauen bei welchem (x-x₀)  die Division aufgeht.

Answer 4

Ich finde die Lösungsvorschläge nicht so recht befriedigend. Es ist$$f(x) = x^4-5x^3+7x^2-3x$$Sicher ist es zunächst eine gute Idee, $x$ auszuklammern:$$f(x) = x\cdot \left(x^3-5x^2+7x-3\right)$$Durch Einsetzen der ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes des kubischen Faktors ergeben sich weiter die beiden Linearfaktoren $(x-1)$ und $(x-3)$. Damit bleibt noch das Absolutglied eines Linearfaktors unbekannt: $$f(x) = x\cdot(x-1)\cdot (x-3)\cdot (x\,+\,?\,)$$Die Zahl, die für ? eingesetzt werden muss, lässt sich auf vielen Wegen bestimmen. Am einfachsten geht es sicher so: Da das Produkt der Absolutglieder der Linearfaktoren des kubischen Faktors gleich seinem eigenen Absolutglied $-3$ sein muss, ergibt sich $?\,=\,(-3):(-1):(-3) = -1$ und somit$$f(x) = x\cdot(x-1)\cdot (x-3)\cdot (x-1)$$als Linearfaktorzerlegung des ganzen Funktionsterms.

Comments

Dieses Ergebnis  mit Rechenweg ist bereits seit gestern mehrfach mitgeteilt worden und daher ohne Vorschlag zu einem neuen Rechenweg völlig wertlos. 

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Wenn Du meine Antwort durchgelesen hättest, würdest Du wissen, dass ich einen völlig anderen Rechenweg beschrieben habe als die anderen Antworten. Das Ergebnis habe ich nur der Vollständigkeit halber mit aufgenommen.

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Dein Rechenweg wurde bereits von Dabi_13 erklärt (zugegeben nicht so ausführlich).  Eventuell ist er minimal anders aber definitv nicht völlig anders.

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Eigentlich ist wir wichtig gewesen, dass der von mir beschriebene Rechenweg doch wesentliche Unterschiede zu den anderen Wegen, die ich keineswegs abgewertet wissen möchte, aufweist. Insbesondere benötigt er keine Polynomdivision, wie in den vorherigen drei Antworten jeweils vorgeschlagen.

Answer 5

 f(x)=x⁴-5x³+7x²-3x =x(x-1)²(x-3)

Comments

Dieses Ergebnis ist bereits seit gestern mehrfach mitgeteilt worden und daher ohne Vorschlag zu einem neuen Rechenweg völlig wertlos.