Hyperboloid Volumen berechnen

Question

Ein (einschaliges Dreh-) Hyperboloid entsteht entweder durch Verdrehen von geneigten Geraden oder durch Rotation einer Hyperbel um ihre Nebenachse.

Fertige eine Skizze der Hyperbel an (a=5, b= 7) und berechne die Volumsformel eines solchen Hyperboloids.

Anm.: Die dünnste Stelle des Hyperboloids ist symmetrisch zu den Deckflächen; Das Volumen hängt also von den Parametern a, b und h ab.

 

Wie kann ich hier in die Volumsformel den Parameter h integrieren?

Answer 1

Die Hyperbel läßt sich ermitteln über:

x²/a² - y²/b² = 1

Weil wir Rotationsintegrale nur über die x-Achse rotieren können bilden wir hier die Umkehrfunktion

x = √(y² + b²)·(a/b) | x und y vertauschen

y = √(x² + b²)·(a/b)

Will ich jetzt das Volumen von -h bis h haben kann ich das Rotationsintegral rechnen

V = 2 * ∫ _{0 bis h} (pi·(√(x² + b²)·(a/b))²) dx
V = 2 * ∫ _{0 bis h} (pi·a²·(x² + b²)/b²) dx
V = 2 * [pi·a²·x³/(3·b²) + pi·a²·x] 0 bis h
V = 2 * ((pi·a²·h³/(3·b²) + pi·a²·h) - (0))
V = 2·pi·a²·h³/(3·b²) + 2·pi·a²·h

Setzte ich hier a und b ein erhalte ich

V = 2·pi·5²·h³/(3·7²) + 2·pi·5²·h
V = 50·pi·h³/147 + 50·pi·h

Ich nehme also einen liegenden Hyperboloid