Rekonstruktion einer e-Funktion

Question

Die Funktion f(x) = (a+1) * e^-bx geht durch den Punkt P(1|2) und hat dort die Steigung -2e

Um welche Funktion handelt es sich?

Meine Ansätze 

f(1) = 2 

2= (a+1) * e^-b | Ausmultiplizieren

2= ae^-b +e^{-b |:}e^-b

2*e^b=a+1 |:2

e^b = (a+1) : 2 |ln

a=2*e^b-1

b = ln(a+1)/2

f'(1) = -2e

==> Produktregel

f'(x) = (a+1) ' * e^-bx + (a+1) * (e^-bx)' = 2e

2e= e^-b +-ae^-b  - e^-b

2e*e^b  =  a  =   2e^b+1 

Frage: Darf man für e zur Vereinfachung den Zahlenwert benutzen?

Wie bekomme ich nun a und b heraus ?

Gruß Luis

Comments

$$\small{\cal{}}$$$$f'(x)=-b\cdot f(x)$$$$f'(1)=-b\cdot f(1)$$$$-2e=-2b$$$$b=e.$$

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Wie kommt man darauf ?

(e^x) = (e^x)' gilt ja nur für e an sich nicht für den ganzen Term

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\(a+1\) ist lediglich ein konstanter Faktor, der beim Ableiten übernommen wird. Produktregel ist hier nicht notwendig.

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Tatsächlich, wäre mir das vorher aufgefallen, hätte mich das ordentlich Zeit erspart :DD 

Answer 1

f(x) = (a + 1)·e^{- b·x}

Bei der Ableitung ist (a + 1) konstant und es gilt die Konstantenregel. Die e-Funktion wird mit Kettenregel abgeleitet. Bleibt also außen die e-Funktion und als Faktor kommt noch die innere Ableitung dazu.

f'(x) = - b·(a + 1)·e^{- b·x}

Die Funktion geht durch den Punkt (1|2) und hat an der Stelle 1 die Steigung -2e

f(1) = 2 --> (a + 1)·e^{- b·1} = 2

f'(1) = -2e --> - b·(a + 1)·e^{- b·1} = -2e

Ersetze jetzt in der 2. Gleichung mal den Term der ersten Gleichung mit 2

- b·(a + 1)·e^{- b·1} = -2e
- b·2 = -2e
b = e

Das jetzt in eine Gleichung einsetzen und nach a auflösen

(a + 1)·e^{- e·1} = 2
(a + 1) = 2·e^e
a = 2·e^e - 1

Die Funktion lautet also

f(x) = (2·e^e - 1 + 1)·e^{- e·x}
f(x) = 2·e^e·e^{- e·x}

f(x) = 2·e^{e - e·x}

Comments

Vielen Dank ! Hab die anderen LK'ler und die Lehrerin alt aussehen lassen :DD

Und noch viel wichtiger, ich beherrsche nun e-Funktionen mehr als vorher