Durchschnittliche Besucherzahl einer Internetseite - Kurvendiskussion

Question

brauche unbedingt hilfe und muss diese aufgabe morgen in der Schule abgeben.. ich wäre dankbar wenn mir einer helfen könnte oder das sogar lösen würde...

Ein Industrieunternen lässt besuchen wieviele besucher die Internetseite besuchen

Die anzahl der Surfer, die zu einem bestimmten Zeitpunkt die Internetseite besuchen lass sich durch folgenden Term beschreiben: f(x) = x^3 + 30x^2 - 225x + 520

1) Berechnen sie f ' (9) und erläutern sie die Bedeutung von f ' (9) in der vorgegebenen Situation

-> Dort die Ableitung bilden und 9 einsetzen ? und weiter? was rechnet man dann aus?

2) Uhrzeit zwischen 4Uhr und 16Uhr -> wie groß ist der Spitzenwert gemäß f(x)

3) In welchem Tagesabschnitt gibt es eine Zunahme?

Wie groß ist die durchschnittliche Zunahme?

Gibt es einen Zeitpunkt zu dem die momentane Zunahme gleich der durchschnittlichen Zunahme ist ?

4) zu welchem Zeitpunkt am tag wird die größte zumahne erreicht? wie erkennen sie dies an den Graphen von f(x), f ' (x) und f '' (x)?

Wie rechne ich das denn alles aus? kann mir jemand Tipps geben oder eventuell eine Lösung bin echt verzweifelt.

Answer 1

1) Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung der Funktion. Gibt also die Funktion die Anzahl der Besucher an, so gibt die Steigung die momentane Änderungsrate der Anzahl der Besucher an. Das heißt also, wie viele Besucher zu einem bestimmten Zeitpunkt dazu kommen.

2) 1. Ableitung = 0 setzen und nach x auflösen. Falls 4<x<16 dann 2. Ableitung bilden und überprüfen und du ein Maximum hast. Zuletzt Randpunkte (4 und 16 überprüfen)

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3) Zuhnahme für f'(x) > 0
Durschnittliche Zunahme: (f'(0) + f'(24)) / 2
Setze f'(x) gleich der durchschn. Zunahme,die du nun berechnet hast.

4) f'(x) = 0 und f''(x) <0

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In 3) unterscheidet der Aufgabentext offensichtlich zwischen Zunahme (f ' (x) > 0) und Abnahme (f '(x) <0).

Eine Zunahme findet im Intervall ≈ [3,23 ; 24] statt. Dort steigt f streng monoton.

Durchschnittliche Zunahme: [ f(24) -f(3,23) ] / (24 - 3,23)

Die ganze Funktion scheint mir allerdings seltsam, weil der Besucherzahl bis 24 Uhr ständig ansteigt und dann plötzlich fast zusammenbricht ( 0 Uhr). Aber vielleicht schalten die ja dann den Server ab, was wiederum zum Zeitpunkt der größten 'Nachfrage' auch seltsam wäre.

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"In 3) unterscheidet der Aufgabentext offensichtlich zwischen Zunahme (f ' (x) > 0) und Abnahme (f '(x) <0). "
Habe ich was falsch gemacht oder wieso kommentierst du bei mir?

"Aber vielleicht schalten die ja dann den Server ab, was wiederum zum Zeitpunkt der größten 'Nachfrage' auch seltsam wäre. "
Wieso zusammenbricht? Ich denke mal die Funktion ist im Intervall [0,24] zu betrachten.

EDIT: Oh die durchschnittliche Zunahme ist falsch bei mir. Das meintest du also :D

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Eben, und f(24) ist sehr groß, f(0) sehr klein, dass ist für die Benutzung einer Internetseite extrem untypisch.

Es sei denn, sie wäre nur einen Tag geöffnet!

Answer 2

1)

f '(x) = 3·x²  + 60·x - 225, f '(9) = 558 (Änderungsrate um 9 Uhr)

f ''(x) = 6·x + 60

2)

f '(x) = 0   ->      x ≈ 3.23 ∨ x ≈  - 23.23 [ aber x von 0 - 24 Uhr, denke ich mal ]

f '' (3,23) = 0.0987 >0 -> Minimum

-> Maximum am Rand:

f(4) =164 , f(16) = 8696  = Spitzenwert

3)

Die nach oben geöffnete Parabel f '  hat positive Werte ab x = 3,23 also ≈ 3:14 Uhr - 24 Uhr

4)

Um 24 Uhr

f(x): Tangentensteigung nimmt in [0;24] ständig zu

f ' hat  für x = 24 seinen größten Wert in [0;24]

f '' (x) hat keine Nullstelle in [0;24] -> Randmaximum für f '

Comments

Als dynamische Graphen nachgeschoben (es lässt sich mit dem Mausrad hineinzoomen):

~plot~ x^3+30x^2-225x+520;3x^2+60x-225;[[ -50|50 |-5000 |15000 ]] ~plot~