Wieso Zahl hoch 0 gleich 1?

Question

Ich bin 9. Klässler auf dem Gymnasium. Wir haben letztens mit der Potenzfunktion angefangen und da kam mir die Frage:

Wieso ist eine Zahl mit dem Exponenten 0 immer gleich 1?

x^0 = 1

Ich hoffe jemand kann mir helfen!

Answer 1

a^3 = 1 * a * a * a

a^2 = 1 * a * a

a^1 = 1 * a

a^0 = 1

a^{-1} = 1/a

a^{-2} = 1/(a * a)

a^{-3} = 1/(a * a * a)

Answer 2

Was sonst noch geht:

$$x^0 = x^{1-1} = x^1 \cdot x^{-1} = x \cdot x^{-1} = x \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = \frac{1}{1} = 1 \ . $$

Das ganze gilt nur, wenn x ungleich 0 ist, da wir beim Kürzen ja durch x teilen. Wenn x=0 gelten würde, würden wir durch 0 teilen und das ist "verboten". Habe es jetzt etwas ausführlicher gemacht und die Formel

$$x^y = \frac{1}{x^{-y}}$$

benutzt. Die restlichen Schritte sollten klar sein.

Answer 3

Die meisten denken beim Potenzieren an den leichtesten Spezialfall:

"ganze Zahlen größer 0"

Dabei bedeutet Potenzieren mit reellen Zahlen:

a^x = e^{log(a)*x} =exp(log(a)*x) 

bei x=0 bedeutet das innere der Klammer: Produkt mit 0 bleibt 0

(außer Polstellen wie + oder - UNENDLICH)

Über bleibt also e^0 = exp(0)

Exponentialfunktion kann z.B. per Reihenentwicklung beliebig genau berechnet werden:

e^x = 1 + x/1! +x²/2!+...

bei x=0 bleibt 1 über -> fertig.

Auch die Grafik lässt niemand zweifeln, dass beliebiges a hoch 0 nur 1 sein kann:

siehe Bild per

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm