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Zeige, dass die folgende Folge (a„) n grösser als 1 jeweils Null-

folgen bilden:

an = (n)/(n3+n2+1)



Hinweis: Zeige, dass zu jedem E > 0 ein Index N e N existiert, so dass lanl < E für

alle n element von N gilt. Dabei kommt es nicht darauf an, ein “optimales” N zu finden; es

darf grosszügig abgeschätzt werden.


Ich verstehe das mit em Epsilon noch nicht ganz, kann mir es jemand an diesem Beispiel wie ich auf ein N komme im allgemeinen.



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Sei ε>0\varepsilon>0 beliebig vorgegeben. Wähle NNN\in\mathbb N so groß, dass N>1εN>\frac1{\sqrt\varepsilon} ist.
Dann gilt für alle nNn\in\mathbb N mit n>Nn>Nan=nn3+n2+1<nn3=1n2<1N2<ε.\vert a_n\vert=\left\vert\frac n{n^3+n^2+1}\right\vert<\frac n{n^3}=\frac1{n^2}<\frac1{N^2}<\varepsilon.Daraus folgt die Behauptung.
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wie bist du jetzt auf dieses N> 1/sqrt(e) gekommen? raten oder gibt es da einen Trick?

an=sin2(n)+(cos(n))3n an= \frac{sin^2(n)+(cos(n))^3}{\sqrt{n}}

Was wäre hier das Epsilon?

Das ε>0\varepsilon>0 ist beliebig. Du musst ein NNN\in\mathbb N in Abhängigkeit von diesem ε\varepsilon finden, für das an<ε\vert a_n\vert<\varepsilon für alle n>Nn>N gilt.
Hier kannst du den Zähler betragsmäßig durch 22 nach oben abschätzen,
d.h es gilt an<2n\vert a_n\vert<\frac2{\sqrt n}.
Nun soll 2n<ε\frac2{\sqrt n}<\varepsilon gelten, was für  n>4ε2n>\frac4{\varepsilon^2} der Fall ist.
Wähle also ein NN, für das  N>4ε2N>\frac4{\varepsilon^2} gilt.

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