Mengenlehre was habe ich falsch verstanden?

Question

1. Lässt sich ein Beispiel für 2 Mengen A und B finden, für welche A∈B und A ⊆ B gilt?

{1,2} ∈ {1,2,3)                  {1,2} ⊆ {1,2,3}  

In der Lösung wird ein Beispiel mit einer leeren Menge genommen, gilt mein Beispiel auch. Ich glaube nähmlich nicht, da ich zuvor einen Fehler gemacht habe, den ich noch nicht verstanden habe. Siehe untere Aufgabe↓

2. Wahre oder falsche Aussage, x und y sind verschiedene Objekte:

{x,y} ∈ {x,y} meine Aussage war" wahr", da die Elemnte in der Menge enthalten sind. In der Lösung stand allerdings "falsch"

Warum?

Answer 1

Hi, die Ausssage {x,y} ∈ {x,y} kann nur dann wahr sein, wenn die linke Menge ein Element der rechten Menge ist. Das ist offensichtlich nicht der Fall, somit ist die Aussage falsch.

Comments

wäre {x,y} ∈ { {x,y}, x , y} eine wahre Aussage?

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Ja!                              

Answer 2

1. Kleinstes Beispiel ist wohl A=∅ und B={∅}.

2. {x,y}∈{x,y} widerspricht dem Fundierungsaxiom: ∀T≠∅ ∃t∈T t∩T=∅.

Wenn {x,y}∈{x,y} wäre, dann müsste x={x,y} oder y={x,y} sein.

Falls x={x,y} ist, dann ist x∩{x,y}={x,y}∩{x,y}={x,y}≠∅. Gleiches gilt für den Fall y={x,y}.