Ermitteln eines Funktionsterms mittels Nullstellen und Steigung der WT

Question

Hi,

ich habe mit folgender Aufgabenstellung ein Problem:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse an der Stelle x=4 und

hat an der Stelle 8/3 eine Wendestelle. Die Wendetangente hat die Steigung -4/3.

Bestimmen Sie den Funktionsterm.

Bisher habe ich folgendes Aufgestellt:

Funktion 3. Grades --> f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d

f'(x)= 3ax^2 + 2bx +c

f''(x)= 6ax + 2b

1. /2.  "berührt" die x-Achse bei X=4 also doppelte NST bei (4/0) --> f(4)=0 und f'(4)=0

3.        WP bei 8/3 --> f''(8/3) = 0

4.        Steigung der WT ist -4/3 also ist die Steigung im WP ebenfalls -4/3 --> f'(8/3) =-4/3

Gleichungen:

I.     f(4)=0                  --> 64a + 16b + 4c + d         = 0

II.   f'(4)=0                  --> 48a + 8b + c                    = 0

III.   f'(8/3)=0 -4/3       --> (64/3)a + (16/3) b + c      = -4/3

IV.   f''(8/3)= 0            --> 16a   + 2b                        =0

^{------------------------------------------------------------------------}

Jetzt sehe ich hier allerdings keine Möglichkeit mittels Additionsverfahren so zu eliminieren, dass ich eine Variable rausbekomme.

Entweder sehe ich es einfach nicht oder ich habe irgendwo einen Denk- oder Rechenfehler.

Im Voraus schon mal vielen Dank.

Answer 1

alles ok. Gibt a=1/4 b=-2  c=4  und d=0

Nimm doch erst Mal 3. Gleichung - 2. Gleichung.

Da hast du c und d nur noch in den ersten beiden

und 3. und 4. sind

-80/3  a     -8/3 b            = -4/3

16a         + 2b                    =0

und damit kommst du doch sicherlich hin.

Comments

Tatsache,  manchmal sieht man den Wald eben vor lauter Bäumen nicht :-)

Vielen Dank

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse an der Stelle \(x=4\) und hat an der Stelle \(x=\blue{\frac{8}{3}}\) eine Wendestelle.
Die Wendetangente hat die Steigung \(m=-\frac{4}{3}\).

\(f(x)=a(x-4)^2(x-N)\)
Wendetangente \(m=\orange{-\frac{4}{3}}\):
\(f'(x)=a[2\cdot(x-4)(x-N)+(x-4)^2]\)
\(f'(\blue{\frac{8}{3}})=a[2\cdot(\blue{\frac{8}{3}}-4)(\blue{\frac{8}{3}}-N)+(\blue{\frac{8}{3}}-4)^2]=\orange{-\frac{4}{3}}\)
\(a[\frac{8}{3}N-\frac{48}{9}]=-\frac{4}{3}\)
\(a[\frac{48}{9}-\frac{8}{3}N]=\frac{4}{3}\)
\(a[\frac{12}{9}-\frac{2}{3}N]=\frac{1}{3}\)

\(a=\frac{1}{4-2N}\)

\(f(x)=\frac{1}{4-2N}(x-4)^2(x-N)\)

\(x=\blue{\frac{8}{3}}\) eine Wendestelle:

\(f'(x)=\frac{1}{4-2N}[(2x-8)(x-N)+(x-4)^2]\)

\(f''(x)=\frac{1}{4-2N}[2(x-N)+(2x-8)+2(x-4)]\)

\(f''(\frac{8}{3})=\frac{1}{4-2N}[2(\frac{8}{3}-N)+(2\cdot \frac{8}{3}-8)+2(\frac{8}{3}-4)]=0\)

\(N=0\)   \(a=\frac{1}{4}\)

\(f(x)=\frac{1}{4}(x-4)^2x\)