Was sind die Koeffizienten b0, b1, b2, b3 und b4? Sei p(z)=3z^4+3z^3+z^2−(2z)−(1) und z0=1−(2i)

Question

Sei p(z)=3z^4+3z^3+z^2−(2z)−(1) und z0=1−(2i).

Berechne die Koeffizienten b derart, dass

p(z)=b4(z−z0)^4+b3(z−z0)^3+b2(z−z0)^2+b1(z−z0)+b0...

Was ist b0, b1, b2, b3 und b4?

Comments

Wir haben einmal

3·z^4 + 3·z^3 + z^2 - 2·z - 1   | für z einsetzen
3·(x + i·y)^4 + 3·(x + i·y)^3 + (x + i·y)^2 - 2·(x + i·y) - 1


Dann haben wir noch

a·(z - z0)^4 + b·(z - z0)^3 + c·(z - z0)^2 + d·(z - z0) + e
a·((x + i·y) - (1 - 2·i))^4 + b·((x + i·y) - (1 - 2·i))^3 + c·((x + i·y) - (1 - 2·i))^2 + d·((x + i·y) - (1 - 2·i)) + e


Ich lasse jetzt mal Wolframalpha schuften

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3·%28x+%2B+i·y%29%5E4+%2B+3·%28x+%2B+i·y%29%5E3+%2B+%28x+%2B+i·y%29%5E2+-+2·%28x+%2B+i·y%29+-+1+%3D+a·%28%28x+%2B+i·y%29+-+%281+-+2·i%29%29%5E4+%2B+b·%28%28x+%2B+i·y%29+-+%281+-+2·i%29%29%5E3+%2B+c·%28%28x+%2B+i·y%29+-+%281+-+2·i%29%29%5E2+%2B+d·%28%28x+%2B+i·y%29+-+%281+-+2·i%29%29+%2B+e

a = 3, b = 15-24 i, c = -44-90 i, d = -159-16 i, e = -60+78 i


Da kommt man sicher über Koeffizientenvergleich hin. Das ist aber ein mords Aufwand. Vielleicht hat jemand noch eine geschicktere Idee.

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Ich hatte den gleichen Ansatz, aber hatte wegen Rechenaufwand aufgegeben :/.

Answer 1

Hi!

Das sind die Koeffizienten von x^4, x^3, x^2 und x, die einfach so notiert wurden.

Gruß...

Comments

Ich denke b0, b1, b2, b3 und b4 sollen hier angegeben werden. Also ausgerechnet werden.