a)
Geradengleichung von gAB : \(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) + μ • \( \begin{pmatrix} 5\\ 5 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) + λ • \( \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\)
Da der Vektor \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) senkrecht zu \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
steht (Skalarprodukt = 0), ist er ein Normalenvektor \(\vec{n}\) von g.
Wegen | \(\vec{n}\) | = √ [ (-1)2 + 12 ] = √2
ist \(\vec{no}\) = \(\frac{1}{√2}\) ·\( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) der zugehörige Einheitsvektor.
Für den Abstand von gAB vom Ursprung gilt: d = | \(\vec{no}\) • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) - \(\vec{no}\) • \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4]\end{pmatrix}\) |
d = 1/√2 • | -2 | = √2 ≈ 1,41
b)
Man benutzt die Abstandsformel von oben und setzt statt \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
den beliebigen Punkt " (5,0) + t*(1,4) " der zweiten Geraden ein:
d(t) = | \(\vec{no}\) • [\( \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) + t·\( \begin{pmatrix} 1 \\ 4\end{pmatrix}\)] - \(\vec{no}\) • \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) |
d(t) = |\( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) • [\( \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) + t ·\( \begin{pmatrix} 1 \\ 4\end{pmatrix}\)] - \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) • \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) |
Hieraus erhält man durch Ausmuliplizieren und Zusammenfassen zu einem Vektor, dessen Betrag man dann berechnet, einen Wurzelterm für d(t), dessen Extremwerte man bestimmen muss.
Die zugehörigen Geradenpunkte erhält man, indem man die Extremstellen (t-Werte) in die (zweite) Gerade g einsetzt.
Gruß Wolfgang
