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Hallo ich bitte um eure Hilfe

a.) Welcher Punkt der Strecke AB mit A=(-3,-1) und B=(2,4) hat vom Koordinatenursprung den kleinsten Abstand? Wie groß ist dieser? Zeichnung!
b.) Welcher Punkt der Strecke AB hat von der Geraden g:X=(5,0)+t*(1,4) maximalen/minimalen Abstand? Wie groß sind diese Abstände? Arbeite mit der Hesse'schen Normalform von g und einen "allgemeinen Punkt" der Strecke AB. Zeichnung!

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a)

Geradengleichung von  gAB :  \(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) + μ • \( \begin{pmatrix} 5\\ 5 \end{pmatrix}\)  = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) + λ • \( \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\)  

Da der Vektor   \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)  senkrecht zu \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

steht (Skalarprodukt = 0), ist er ein Normalenvektor    \(\vec{n}\)  von g.

Wegen  | \(\vec{n}\) |  = √ [ (-1)2 + 12 ]  = √2

ist  \(\vec{no}\)  = \(\frac{1}{√2}\)  ·\( \begin{pmatrix} -1 \\  1 \end{pmatrix}\)  der zugehörige Einheitsvektor.

Für den Abstand von gAB vom Ursprung gilt:  d = | \(\vec{no}\) •   \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)  -  \(\vec{no}\) •  \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4]\end{pmatrix}\) |

d  = 1/√2 • | -2 | = √2 ≈ 1,41

b)

Man benutzt die Abstandsformel von oben  und setzt statt  \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) 

den beliebigen Punkt  " (5,0) + t*(1,4) " der zweiten Geraden ein: 

d(t) = \(\vec{no}\) • [\( \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) + t·\( \begin{pmatrix} 1 \\ 4\end{pmatrix}\)] -  \(\vec{no}\) •  \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) |

d(t) = |\( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) •  [\( \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) + t ·\( \begin{pmatrix} 1 \\ 4\end{pmatrix}\)]   -  \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)  •  \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) |

Hieraus erhält man durch Ausmuliplizieren und Zusammenfassen zu einem Vektor, dessen Betrag man dann berechnet, einen Wurzelterm für d(t), dessen Extremwerte man bestimmen muss.

Die zugehörigen Geradenpunkte erhält man, indem man die Extremstellen (t-Werte) in die (zweite) Gerade g einsetzt.

Gruß Wolfgang

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