U = { x€R^n | | x-a | < r } als offene Menge beweisen

Question

Die Aufgabe: 

Zeigen Sie, dass U = $$\left\{ { x\in { R }^{ n } } | { \left| x-a \right| <r } \right\} $$ offen ist.

Irgendwie finde ich, dass die Aufgabe sich selber löst - ich würde so argumentieren, dass meine Kugel um einen beliebigen Punkt x niemals einen größeren Radius ε haben darf als ε < r+IaI - denke ich da falsch?

Liebe Grüße und

Comments

Kann deiner Argumentation nicht folgen. Ist dir klar, dass die Menge U eine n-dim. Kugel um den Punkt \(a\) mit Radius r ohne die Oberfläche beschreibt?

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Oh nein, danke für die Erklärung!

Das heißt ein Punkt x befindet sich in meiner n-dimensionalen Kugel U mit Radius r um den Mittelpunkt Ix-aI (? Kann ich in deinem Beitrag nicht ganz lesen). Dies bedeutet aber doch, dass es eine Möglichkeit gibt, Umgebungen um meine beliebigen x Punkte zu legen, sodass diese mit ihren Radien nicht meine U-Kugel verlassen.

Ist dieser Grundgedanke richtig?

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Vollkommen richtig und im Grunde auch schon der zentrale Gedanke für den Beweis ;).

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OKay, danke Yakyu!

Als nächstes habe ich mir überlegt, dass der größte Radius ε einer Kugel um einen beliebigen Punkt x in meiner U-Kugel ε_max < r  sein muss, von da an wird er immer kleiner und kleiner. Ich kann ja theoretisch einen Punkt x haben, der quasi am Rand meiner offenen Kugel ist und deshalb nur einen "fast 0" Radius ε_min haben darf.

Kann ich das formal so aufschreiben? :

U ist eine offene Kugel, da ich um einen beliebigen Punkt x ∈ U eine Kugel K (x,ε) mit Radius ε legen kann. Es muss dabei gelten: 0 < ε < r . Da solche Umgebungen und Kugeln in meiner Menge U existieren, ist meine Menge U offen.

Passt das so?

Liebe Grüße und danke!

Frosi :)

Answer 1

Hey Frosi,

zu deinem letzten Kommentar. Der Gedanke ist weiterhin gut, du hast aber immer noch nicht die Existenz gezeigt, denn die Einschränkung  0 < ε < r reicht nicht aus.

Lass uns zeigen, dass zu jedem Element von U eine Umgebung existiert, die in U liegt. Sei \( x \in U\). D.h. es ex. ein \(s < r \) mit \( |x-a| = s \).

Wir suchen nun ein \( \varepsilon > 0 \), so dass \(B_{\varepsilon}(x) \subseteq U \), d.h. für alle \(y\) mit \(|x-y| < \varepsilon \) soll gelten, dass \( |y-a| < r\).

Wähle nun eine sinnvolle Begrenzung für \(\varepsilon\). Ein kleiner Hinweis: Dreiecksungleichung.

Viel Spaß

Gruß

Comments

Hmmm, ok ich versuche das mal:

Die zwei Dreiecksungleichungen, die ich kenne, lauten in diesem Fall:

1) I IxI-IyI I ≤ Ix+yI

und 2) Ix+yI ≤ IxI + IyI

und die Zusammenhänge die ich erkenne lauten:

a) s = Ix-aI < r

b) Ix-yI < ε < r

und c) Iy-aI < r .

Ich versuche die ganze Zeit a,b und c miteinander zu verknüpfen, sodass ich es auf eine Form von 1) oder 2) bringen kann, aber ich spekuliere nur. Kannst du mir noch einen kleinen Ansatz geben?

Viiieeelen lieben Dank für die tolle Hilfe!

Frosi

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Ok, kein Problem. Vielleicht hilft dir ja dich aufs Ziel zu konzentrieren. Betrachte die Abschätzung:

$$ |y-x| + |x-a| < r $$

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Oki, ich habe jetzt:

Iy-xI+Ix-aI < r

ich benutze Ix-yI < ε und s = Ix-aI sowie den Betrag

Iy-xI + Ix-aI < ε + s < r

und somit ε + s < r

0 < ε < r-s = r - Ix-aI

Stimmt das so?

Liebe Grüße! :)

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Ja schön und gut, aber warum folgt jetzt damit, dass \( |y-a| < r\) :)?

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Oh, ich hatte das so verstanden, das y auch ein Element aus U ist (so wie unser x) - und das deshalb die Definition meiner Menge U auch für y vorschreibt, dass Iy-aI < r sein muss. Da habe ich wohl falsch gedacht! (Oder?)

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Du hast anscheinend noch nicht wirklich raus, was eigentlich vorliegt und was eigentlich gezeigt werden muss. Das \(y\) liegt in der Umgebung um \(x\) (Voraussetzung). Es ist zu zeigen, dass es durch die Wahl des \(\varepsilon\) das \(y\) auch in \(U\) liegt. (Da \(y\) willkürlich gewählt ist bedeutet dies, dass die ganze Umgebung in \(U\) liegt).

Der Tipp mit der Dreiecksungleichung gilt nach wie vor!

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Ahhhhh jetzt habe ich es glaube ich verstanden.

der Abstand von x zum Mittelpunkt a und der Abstand von y als Mittelpunkt der Y-Kugel mit seinem Radius r_y zu x müssen in der Summe kleiner sein als r, damit beide in der U-Kugel enthalten sind.

Deshalb muss auch der Abstand y vom U-Kugel-Mittelpunkt a auf jeden Fall kleiner sein als r!

y liegt in U, wenn gilt, dass Iy-aI < r , analog für meine x: Ix-aI < r

Für alle meine y, die in der Umgebung von x liegen gilt: y ∈ Bε (x) , das heißt Ix-yI ≤ ε , da y maximal um ε größer sein kann als x. Und da y auf jeden Fall in der U-Kugel sein muss, muss gelten, dass Iy-aI < r ist.

Habe ich mich jetzt wieder geirrt?

Liebe Grüße!

Frosi

(Grundgedanke richtig verstanden?)

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Du hast es denke ich im größten Teil verstanden allerdings immer noch nicht gezeigt warum das auch wirklich so ist. Ich mach dem mal ein Ende :). Wir wählen \(\varepsilon > 0 \), so dass \( \varepsilon < r-s \). Dann gilt für alle \(y \in B_{\varepsilon}(x) \):

$$ |y-a| = |y-x+x-a| < |y-x| + |x-a| < r $$

und somit ist \( B_{\varepsilon}(x) \subseteq U\).

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DANKE YAKYU!!! :-D

Macht auch total sinn jetzt, oh man!

Liebe Grüße

Frosi

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Gerne :). Grüße zurück.