Logarithmus ohne Taschenrechner berechnen

Question

Welche Umformungen kann ich bei der Aufgabe anstellen, um auf das zu kommen, was rechts vom Gleichheitszeichen steht?

$$\operatorname { log } _ { 3 } \sqrt [ 5 ] { 100 } = \frac { 2 } { 5 \cdot \operatorname { lg } 3 }$$

Leider weiß ich nicht wie ich mit meinem Ansatz weitermachen soll:

$$\left. \begin{array} { l } { = \operatorname { log } _ { 3 } ( 100 ^ { \frac { 1 } { 5 } } ) } \\ { = \frac { 1 } { 5 } · \operatorname { log } _ { 3 } ( 100 ) } \\ { = \frac { 1 } { 5 } · \operatorname { log } _ { 3 } ( 25 · 4 ) } \\ { = \frac { 1 } { 5 } · \operatorname { log } _ { 3 } ( 25 ) + \operatorname { log } _ { 3 } ( 4 ) } \\ { = \frac { 1 } { 5 } · \frac { \operatorname { lg } ( 25 ) } { l g _ { 3 } } + \frac { \operatorname { lg } ( 4 ) } { l g _ { 3 } } } \end{array} \right.$$

Answer 1

log₃ ( ⁵√100 )  = log₃ ((10²)^1/5)        [ ⁿ√a  = a^1/n ]

 = log₃ (10^2/5)              Potenzsatz  (aⁿ)^m = a^n•m

= 2/5 • log₃ (10)           Logarithmensatz  log (aⁿ) = n • log(a)

 = 2/5 • lg(10) / lg(3)    Logarithmenformel für Basiswechsel:   log_b (x) =  log_a(x) / log_a(b)

 = 2/5 • 1/ lg(3)

= 2/ (5• lg(3))

Gruß Wolfgang