Umkehrfunktion? f(x)=x^3 bijektiv? und Bestimmung von f^{-1}

Question

Hi Leute.

Erstmal die Aufgabe:

2. (Inverse einer Funktion)

Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit

(i) \( f(x)=x^{3} \)

(ii) \(  f(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x} \)

a) Ist die Funktion \( f \) bijektiv? (Begründung!)
b) Wenn ja, bestimmen Sie die Inverse Funktion \( f^{-1} \) 

Also zu a) also bei (i) bin ich mir ziemlich sicher, dass das bijektiv ist, aber mir fehlt die Begründung. Wie kann ich das denn korrekt begründen?

bei (ii) Bin ich mir unsicher... ich würde ehrlich gesagt sagen, nein...

zu b) Das hatte ich noch gar nicht hab ich sogar gerade probiert zu googlen und ähnliche Aufgaben zu finden, aber da wurde ich leider 0 fündig. Auch bei der Suche in YouTube was passendes an Lernvideos zu finden, stieß ich leider auf keine brauchbaren Aufgaben :/

Comments

Tipp zu (ii): Es ist \(f(x)=f(-x)\) für alle \(x\in\mathbb R\).

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Hmm das hilft mir nur bedingt ehrlich gesagt. ^^ Trotzdem danke vielleicht kann ich ja damit was anfangen :D

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Das bedeutet, dass \(f\) nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv ist. Eine Inverse existiert also nicht.

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Ah gut danke :D Mehr ist das nicht? :O Ich dachte das wäre jetzt mega viel als Begründung haha :D das ja praktisch, cool danke :D

Answer 1

i)

y = x^3

x = y^{1/3}

Ich traue dir zu das du jetzt noch x und y vertauschen kannst und als umkehrfunktion aufschreiben kannst

ii)

y = e^x + e^-x

Subst. z = e^x

y = z + 1/z

z = y/2 ± √(y^2 - 4)/2

x = LN(y/2 ± √(y^2 - 4)/2)

Die Funktion lässt sich also nur in Teilen umkehren.

Bei ii) brauchst du allerdings nichts machen, weil die die Umkehrfunktion nur bilden sollst, wenn die Funktion bijektiv ist.

Skizziere dir aber fürs eigene Verständnis mal die Funktionen und die Umkehrung. mache auch in ii) deutlich welche Umkehrung zu welchem Abschnitt der Originalfunktion die Umkehrung ist.

Answer 2

a)  (i) bijektiv:

Ist zu zeigen    Injektiv und surjektiv

Injektiv:  f ist streng monoton steigend , also Injektiv

surjektiv:    Es ist  lim (für x gegen - ∞ )  =  - ∞ und      lim (für x gegen ∞ )  =  ∞   

außerdem f stetig auf ganz IR,  also   surjektiv

Umkehrung    f -1 ( x )   =   x ^1/3   für  x ≥ 0   und

                                      =   -  ( -x) ^1/3  für  x < 0  Graph:~plot~ x^{1/3}; -(-x)^{1/3} ~plot~b)  nicht Injektiv, weil f(1) = f(-1) .


also nicht bijektiv, also fertig.