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Hey kann mir jemand erklären wie ich vektorgleichungen so bestimme, dass die Geraden windschief zueinander sind? am liebsten an dem Beispiel:

g  :  x  = ( 1  ;  2  ;  1  ) + y (  2  ;  s  ; 3   )

h  :  x  = (  -2  ;  -1  ;  -1  ) + z (  r  ;  1  ;  3  )

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Winschiefe Geraden haben 2 Eigenschaften. 

1. Sie sind nicht parallel.

2. Sie haben keinen gemeinsamen Punkt.

g  :  x  = ( 1  ;  2  ;  1  ) + y (  2  ;  s  ; 3   )

h  :  x  = (  -2  ;  -1  ;  -1  ) + z (  r  ;  1  ;  3  )

Eigenschaft 1. Vergleiche die beiden Richtungsvektoren

(2;s;3) und (r;1;3). Sie sind parallel, wenn der eine ein Vielfaches des andern ist. 

Also u(2;s;3) = (r;1;3). Komponentenweise gleich.

Beginne unten: 3u=3 heisst u=1 

us = 1. Heisst s=1

2u=r. Heisst r=2.

Also erste Bedingung: (r,s)≠(2,1)

2. Prüft man am einfachsten mit dem Vektorprodukt des Verbindungsvektors eines Stützpunkts mit einem beliebigen Punkt auf der andern Geraden mit einem Richtungsvektor. Da sein Betrag die Fläche des aufgespannten Parallelogramms angibt, darf er nie 0 sein, wenn die beiden Geraden sich nicht schneiden.

g  :  x  = ( 1  ;  2  ;  1  ) + y (  2  ;  s  ; 3   )



h  :  x  = (  -2  ;  -1  ;  -1  ) + z (  r  ;  1  ;  3  ) = (-2+zr ; -1 + z ; -2 + 3z)

(-3+zr ; -3+z, -2 + 3z) x (2,s,3)  =

((-3+z)3 - (-2+3z)s ; (-2+3z)2 -(-3+zr)3; (-3+zr)3 -(-2+3z)2 ) = (0;0;0)

komponentenweise

1.   -9-3z+2s-3zs = 0

2.   -4+6z+9-3zr = 0

3.   -9 + 3zr +4-6z = 0

2.+3.:       0=0: 2 mal dieselbe Gleichung.

D.h. du hast 2 Gleichungen für 3 Unbekannte.

 

1.   -9-3z+2s-3zs = 0

2.   5+6z-3zr = 0 

2. --> 5 = 3zr -6z

5/(3r-6) = z in 1.

-3 - 15/(3r-6) + 2s - 15s/(3r-6)  =0

-3 + 2s - (15(1+s))/(3r - 6) = 0

-3 + 2s = (5(1+s))/(r - 2) 

r-2 = (5(1+s)) /(-3 + 2s)

r = 2 +  (5(1+s)) /(-3 + 2s) bedeutet: die beiden Geraden schneiden sich, wenn immer

(s; r) = (s ; 2 +  (5(1+s)) /(-3 + 2s) ) 

Man kann den Graph davon betrachten und sieht, dass das nicht geht, s≠1.5 (Lücke im Definitionsbereich und r≠4.5 Lücke im Wertebereich: vgl:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+f%28x%29+%3D+2+%2B++%285%281%2Bx%29%29+%2F%28-3+%2B+2x%29++



So einfach, wie erst vermutet, war's also doch nicht!

Einfacher ist vielleicht das Spatprodukt aus den beiden Richtungsvektoren der Geraden und dem Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte zu berechnen. Läuft auf die Determinante einer Matrix mit diesen 3 Spaltenvektoren raus. Das Spatprodukt ist genau dann 0, wenn das aufgespannte Spat das Volumen 0 hat. In diesem Fall schneiden sich die Geraden. Sonst sind sie parallel zueinander.

Sollte ich mich oben nicht verrechnet haben, kommt beim Spatprodukt auch die Bedingung r = 2 +  (5(1+s)) /(-3 + 2s)  raus für schneidend.

Wenn ich Zeit habe, rechne ich das am Freitag mal noch aus. 

Nachtrag: Variante mit dem Spatprodukt.

Determinante der Matrix

3 2 r

3 s 1

1 3 3

berechnen

= 9s + 4 + 9r -2rs-9-18 =0 setzen für 'schneidend'.

-5 + 9s + 9r - 2rs = 0

9r - 2rs = 5-9s 

r = (5-9s)/(9-2s)

Das ist nun anscheinend nicht dieselbe Bedingung wie oben. Es ist aber sofort ablesbar, dass wie oben bei WolframAlpha bei s=4.5 ein Pol ist.

Da diese Rechnung kürzer ist, ist dieses Resultat ohnehin zuverlässiger. Vielleicht findest du ja den Rechenfehler oben.

Die beiden Geraden schneiden sich genau dann, wenn 9r - 2rs = 5-9s . Also r  = (5-9s)/(9-2s) und s≠4.5. Sonst sind sie windschief.

Grund: Falls s=4.5, käme

9r - 9r = 5 - 9*4.5 also 0 = -35.5 raus. Das geht nicht. Bei s=4.5 sind die beiden Geraden also immer windschief.

von 162 k 🚀
Warum muss das Vektorprodunkt ungleich Null sein?? wenn es null wäre würden die Vektoren sich dann schneiden?
Hallo Jacqueline. So einfach war's nun leider doch nicht. Ich habe mal eine Skizze reingestellt und die Rechnung dazu verlängert. Da ist aber noch irgendwo ein Rechenfehler drinn.

Ich habe deshalb noch eine kürzere Methode durchgerechnet. Benutzt das Spatprodukt.

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