Aufgabe:
Vor 40 Jahre gingen Studien davon aus, dass die Bevölkerungszahl \( P(t) \) zur Zeit \( t \) in einem Entwicklungsland der Differenzialgleichung
\( (*) \quad \frac{d P}{d t}=\alpha P^{\beta} \)
mit festen Zahlen \( \alpha>0, \beta>1 \) genügt. Zeigen Sie: Zur Anfangsbedingung \( P(0)=P_{0}>0 \) gibt es ein \( T \in \mathbb{R}_{>0} \) und eine Lösung \( \left.P:\right]-\infty, T[\rightarrow \mathbb{R} \) von \( (*) \) mit
\( \lim \limits_{t \nearrow T} P(t)=\infty \)
drücken Sie \( T \) explizit durch \( \alpha, \beta, P_{0} \) aus.
