Funktionenschar: fk(x) = - x^3 + k·x^2 + (k - 1)·x

Question

Bitte um den Rechenweg dieser Aufgabe

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Funktionsscharen Parameter. fk(x)=-x^3+kx^2+(k-1)x

Stichworte: parameter,funktionenschar

hab eine Hausaufgabe auf und die bekomm ich einfach nicht hin. Die teilaufhabeb a ist bereits erledigt aber mit c und d komm ich ebenfalls nicht weiter

fk(x)=-x³+kx²+(k-1)x

C) Für welchen Wert des Parameters k hat der Graph von fk keinen extrempunkt

D) gibt es Parameter k, sodass der Graph von fk keinen Wendepunkt hat ?

Könntet ihr mir den Lösungsweg vielleicht ganz genau zeigen, weil ich es einfach nicht verstehe. Ich komm einfach nicht weite

Vielen Dank

Answer 1

Nach den pädagogischen Ermahnungen vielleicht doch etwas

Hilfe:

a) schneide doch vielleicht erst mal die für k=0 und k=1

Das gäbe  -x^3 -x = -x^3 + x^2

0 = x^2 + x

0 = x ( x+1)

x = 0 oder x= - 1 und damit P1=(0/0) und  P2=(- 1/ 2 )

Da diese beiden nur die 2 Punkte gemeinsam haben, können alle

auch höchstens diese 2 gemeinsam haben.

Und wenn  alle diese beiden Punkte gemeinsam haben, müssen die

Koordinaten dieser beiden Punkte beim Einsetzen in jede beliebige

Funktionsgleichung aus dieser Funktionenschar stimmen.

Test mit (0/0):

f_k(0) = 0

- 0^3 + k*0^2 + (k-1) * 0 = 0   stimmt !

Test mit (-1 / 2 ):

f_k(-1) = 2

- (-1)^3 + k*(-1)^2 + (k-1) * (-1) = 2

1       + k         - k  + 1    =   2       stimmt !     q.e.d.

für b) bilde mal f_k'(x)  und mache den Ansatz  f _k ' ( 3) = 0, weil

das eine notwendige Beding. für Extremstellen ist.

c)  nun allgemein   f _k ' ( x) = 0 setzen.

das gibt    -3x^2 + 2kx + k-1 = 0

Diese quadr. Gl. nach x aufzulösen

z.B. mit der Lösungsformel gibt

x =  ( -2k  ± wurzel ( 4k^2 - 4*(-3)*(k-1) )   /   (-6 )

und in der Wurzel, das ist  4k^2 + 12k - 12

und wenn dieser Term negativ ist, gibt es keine Lösungen,

also hat f_k dann keine Extremstellen.

Also rechnest du vielleicht aus, für welche k das gleich 0 ist

und dann siehst du es schon.

Bei Wendepunkten heißt die Bedingung f _k ' ' (x) = 0

Du wirst sehen, das klappt immer.

Answer 2

Hier meine Berechnungen

c.) hier habe ich eine ganzen Bereich für den das zutrifft
unter anderem k = -2 und k=-3.
Kannst du einmal nachprüfen.

d.)
f ´´( x ) = -6*x + 2k
Wendepunkt
-6*x + 2k = 0
x = 2 * k / 6
Für jeden Wert von k dürfte es einen Wendepunkt geben.

Answer 3

Hi,

wir hatten ja gerade die Ableitung gebildet:

f(x) = -x³+kx²+(k-1)x

f'(x) = -3x² + 2kx + (k-1)

Nun musst Du die diesmal allgm 0 setzen:

f'(x) = -3x² + 2kx + (k-1) = 0   |:(-3)

x^2 - 2/3*kx -1/3*(k-1) = 0

Nun die pq-Formel bemühen:

x_(1,2) = -1/3*k ± √((-1/3k)^2 + 1/3*(k-1))

Nun die Wurzel genauer betrachten. Deren Argument muss ja 0 oder positiv sein. Suchen wir mal die Nullstellen:

(-1/3k)^2 + 1/3*(k-1) = 0

Auch hier nehmen wir die pq-Formel, nachdem wir mit 9 erweitert haben (damit wir den Vorfaktor 1 erhalten).

k_(1,2) = -3/2±√(21)/2

Mit einer Punktprobe bei k = 0 in f'(x), finden wir schnell heraus, dass für jedes x die Ableitung nicht 0 werden kann und folglich das Intervall zwischen den beiden k's ausfällt.

d) Hier brauchen wir noch die zweite Ableitung:

f(x) = -x³+kx²+(k-1)x

f'(x) = -3x² + 2kx + (k-1)

f''(x) = -6x + 2k

Hier haben wir eine Gerade. Egal was k für einen Wert einnimmt, die Gerade schneidet immer die x-Achse und demnach gibt es eine Nullstelle der zweiten Ableitung. Wegen f'''(x) ≠ 0 gibt es stets einen Wendepunkt.

Du konntest folgen?
Grüße

Comments

Aber ist 1/3k•(k-1) nicht 3k-3

Und wie kommst du auf Wurzel 21/2

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Und was macht man danach mit der Wurzel 21/2?

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Und d versteh ich ehrlich gesagt nicht. Es tut mir wirklich so leid dass dich das hier so viel Zeit kostet. Wenn es nicht zu viel ist, könntest du es mir trotztdem nochmal erklären ?

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Es freut mich, dass Du nachfrägst, wenn Du was nicht verstanden hast :). Und mach Dir keine Sorgen um die aufgewendete Zeit, solange Du es nacher verstanden hast!

1. Nope, 1/3*(k-1) = 1/3*k - 1/3. Du multiplizierst ja jeden Summanden der Klammer mit dem Faktor davor.

2.  Bis hier war es klar? (-1/3k)² + 1/3*(k-1) = 0

Das ist doch das Argument der Wurzel (und 0 gesetzt). Wir wollen ja schauen, wann es 0 wird um zu bestimmen, wann das Argument kleiner 0 ist. Obiges kann man nochmals sauberer schreiben als:

1/9*k^2 + 1/3*k - 1/3 = 0   |*9

k^2 + 3k - 3 = 0

Nun wie gewohnt die pq-Formel anwenden und Du kommst auf:

k_1,2 = -3/2±√(21)/2

Einverstanden? ;)

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Ja jetzt ist es vollkommen logisch. Dankeschön