Abbildung invertieren ...

Question

Der Endomorphismus w : R[X]2 -> R[X]2 sei gegeben durch 

1 |-> 2 + x +2x^2   , x|->  1 + 2x - x^2    ,  x^2 |-> x-x^2

Bestimmen Sie die Determinante von w , zeigen Sie , dass w bijektiv ist und berechnen Sie w^-1(1+x+x^2) .

Die Determinante geht klar. 

Um die Umkehrabbildung von w zu erhalten , invertiere ich einfach die Abbildungsmatrix , richtig ? 

Frage : Gilt für w^-1 dann : 2+x+2x^2 |-> 1 , 1+2x-x^2 |-> x , x-x^2 |-> x^2 , also dass die gegebenen Abbildungen für w^-1 umgekehrt werden ? 

Falls ja , müsste ich ja  herausfinden , worauf 1, x und x^2 für w^-1 abbilden . Wie kann man da vorgehen und wie zeige ich die Bijektivität von w ? 

Answer 1

Frage : Gilt für w^-1 dann : 2+x+2x² |-> 1 , 1+2x-x² |-> x , x-x² |-> x² , also dass die gegebenen Abbildungen für w^-1 umgekehrt werden ? 

Genau. Um w^-1(1+x+x²) zu bestimmen, brauchst du nur mit

a*( 2+x+2x²) + b*( 1+2x-x² )   + c* ( x-x² ) = 1+x+x²

durch Koeffizientenvergleich a und b un c zu bestimmen.

und hast dann mit a*1 + b*x + c*x^2 das Ergebnis.

 Wie kann man da vorgehen und wie zeige ich die Bijektivität von w ? 

entweder über den Satz 

Endomorphismus bijektiv  ⇔ Det. seiner Matrix ungleich 0.

oder mit Bild = R[x]2  also alle von R[x]2 lassen sich durch

a*( 2+x+2x²) + b*( 1+2x-x² )   + c* ( x-x² ) darstellen und

Kern = {0}.