wann bildet eine menge einen Vektorraum?

Question

Meine Aufgabe ist es zu Beweisen, dass eine Menge einen Vektorraum bildet. Nun fängt es schon bei der Bedingung an. Wann bildet eine Menge einen Vektorraum?

Die Aufgaben sind in folgender Art und Weise, ich möchte nun wirklich wissen, wie das Schema F ist.

Hier die Aufgaben

Matrizen als Vektorräume

Überprüfen Sie, ob diese Mengen einen Vektorraum bilden:

a) \( V_{1}=\left\{M \in \mathbb{R}^{n \times n} | \operatorname{det} M=1\right\} \)

b) \( V_{2}=\left\{M \in \mathbb{R}^{n \times n} | m_{i j}=m_{j i} \text { für alle } i, j=1, \ldots, n\right\} \)

c) \( V_{3}=\left\{M \in \mathbb{R}^{n \times n} | m_{i j}=0 \text { für alle } i, j=1, \ldots, n\right\} \)

d) \( V_{4}=\left\{M \in \mathbb{R}^{2 \times 2} | M \cdot M=M\right\} \)

e) \( V_{5}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f(0)=0\} \)

f) \( V_{6}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f(1)=1\} \)

Ich weiß leider nichtmal wie ich diese Aufgaben angehen soll. Ich bin sehr dankbar für jegliche Hilfe :)

Comments

"Beweisen, dass eine Menge einen Vektorraum bildet"

Du musst zu jedem Beispiel die definierenden Eigenschaften durchtesten (zumindest: wenn du noch keine (erst wenig) Theorie gehabt hast)

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition

a) ist nun zum Beispiel kein Vektorraum, da die Addtition von Matrizen mit Determinante 1 nicht wieder eine Matrize mit Determinante 1 geben muss.

Bsp. ((1,0)(0,1)) + ((1,0)(0,1)) = ((2,0)(0,2))

Das Resultat hat die Determinante 4.

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Die Aufgabe ist schlecht gestellt. Eine Menge an sich stellt keinen Vektorraum dar, da keine Vektorraumstruktur gegeben ist. Offenbar soll unterstellt werden, dass die vorliegenden Mengen die Vektorraumstruktur von irgendeiner nicht genannten, also zu erratenden, Obermenge erben. Dann müssen natürlich nicht die Vektorraumaxiome nachgerechnet werden, sondern es genügt, die Unterraumkriterien zu prüfen. Wo ist denn die Aufgabe her?

Answer 1

du musst die Vektorraumaxiome nachweisen, die findest du sehr übersichtlich hier:

https://www-user.tu-chemnitz.de/~pester/Lehre/LA1/Folien/VR.pdf

Wenn es sich um eine Telimenge T eines bekannten Vektorraums V handelt (z.B. ℝ^nxn) gelten alle Gleichungen der Obermenge auch in der Teilmenge. Dann  bleibt von den Axiomen nur zu prüfen, ob das neutrale Element und die inversen Elemente  aus V in T liegen.

Außerdem musst du in jedem Fall prüfen, ob mit je zwei Elementen a,b der Menge auch der Vektor  a+b und für alle λ∈K (hier K=ℝ) λ•a in der Menge enthalten sind (Abgeschlossenheit)

Gruß Wolfgang

Answer 2

Also ich denke mal, dass ihr schon gezeigt habe, das R ^nxn insgesamt ein VR ist,

also die Addition der Matrizen assoziativ ist, und für das Multiplizieren mit reellen Zahlen

die Distributigesetze gelten etc.

Dann musst du hier ja nur prüfen, ob diese Mengen Unterräume sind, also

Wenn du zwei Elemente der Menge addierst, ob wieder eines aus der Menge rauskommt.

Bei V1 etwa zwei mit det=1 ( könnte man für beide die Einheitsmatrix nehmen) dann

wäre die Summe aber die Matrix mit 2en in der Diagonale, also det=4, also Ergebnis nicht

in V1, deshalb V1 kein Vektorraum.

bei V4 etwa wäre zu prüfen: wenn M*M=M und N*N=N

dann auch (M+N)*(M+N)=M+N  ?? Da es ja nur 2x2 Matrizen sind, kann

man das etwa mit M=

a b
c d  und N =

u  v
r   s

ja nachrechnen.

Wenn diese erste Eigenschaft stimmt, muss man noch zeigen, dass auch das

Multiplizieren mit einer Reellen Zahl wieder ein Element des Raumes ist, also

etwa A aus V und x aus R  dann   x*A  aus V.

wenn das auch noch stimmt muss nur noch geprüft werden, ob die

0-Matrix in V ist und ob zu jedem A aus V auch  - A aus V ist.