sei f : R2→R2 eine lineare Abbildung sd.
(1)f(1,1)=f(1,−1)
Zeige oder widerlege:
1.) f ist surjektiv
2.) (0,1) ∈ Ker(f)
3.) dim Ker(f)=1
4.) Gibt es unendlichviele lineare Abbildungen, die die Bedingung (1) erfüllen?
Anhand von 4, denke ich, dass ich nicht so einfach auf eine eindeutige Abbildung schliessen kann. Ich weiss dann aber nicht wie ich vorgehen soll bei surjektiv.
Bei 2/3. dachte ich, dass ich f((1,1)−(1,−1))=f(0)=0 nehmen soll. dann komme ich auf
f(0,2)=0 und somit wäre ja 2 widerlegt stimmt das?
und wie kann ich dann auf den ganzen Kern schliessen? Denn wenn ja f eine lineare Abbildung ist muss ja wenn ich (0,0) einsetze auch=0 rauskommen dann habe ich ja schon zwei Resultate für den Kern und somit kann die Dimension vom Kern nicht gleich 1 sein.?