+2 Daumen
2,6k Aufrufe

Anzahl Möglichkeiten k ununterscheidbare Elemente auf n Plätze zu verteilen

Normal gilt hier die Formel

(n+k-1 über k)

Wenn ich die Bedingung habe das auf jedem Platz mind. p Elemente liegen sollen dann verteil ich diese vorher

k = kalt - n*p

(n+k-1 über k)

Was aber wenn ich die Bedingung habe, das auf jedem Platz höchstens q Elemente liegen sollen.

Beispiel:

Wie viel Möglichkeiten habe ich 20 Euro an 4 Kinder zu verteilen, wenn jedes Kind mindestens 1 Euro und höchstens 9 Euro bekommen soll.

Oder allgemein

Wie viel Möglichkeiten habe ich k Euro an n Kinder zu verteilen, wenn jedes Kind mindestens p Euro und höchstens q Euro bekommen soll.

von 294 k

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort
Hallo,

zuerst kann man das Problem:

"Wieviele Möglichkeiten habe ich, k Euro an n Kinder zu verteilen, wenn jedes Kind mindestens p Euro und höchstens q Euro bekommen soll."

zurückführen auf

"Wieviele Möglichkeiten habe ich, k* := k - np Euro an n Kinder zu verteilen, wenn jedes Kind mindestens 0 Euro und höchstens q* := q - p Euro bekommen soll."

Zum Trost vereinbaren wir jetzt, dass jedes Kind, das einen Euro nicht bekommen hat, einen Anti-Euro kriegt. Jedes Kind kann maximal k* Euros (oder k* Anti-Euros) kriegen. Die Anzahl der Anti-Euros beträgt k** = nk* - k* = (n - 1)k*. Das heißt die Aufgabe lässt sich zurückführen auf:

"Wieviele Möglichkeiten habe ich, k** Anti-Euros an n Kinder zu verteilen, wenn jedes Kind mindestens p** = k* - q* Anti-Euros kriegen soll."

Schließlich kann man diese Formulierung zurückführen auf:

"Wieviele Möglichkeiten habe ich, k*** = k** - np** Anti-Euro an n Kinder zu verteilen."

Dies führt zu (n über k***) = (n über (k** - np**)) = (n über ((n-1)k* - n(k* - q*))) = (n über (n-1)(k-np) - n(k-np - (q-p))) = ... = (n über nq - k).

MfG

Mister
von 7,7 k
Klingt soweit plausibel. Werde mich in der Woche mal dransetzen ob ich das so auf mein Problem was ich hatte anwenden kann.

 

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...