Funktionsgrenzwert gegen -1 ohne l'Hospital: lim_(x->-1) ( 1/(x+1) - .....)

Question

$$\lim _{ x\rightarrow -1 }{ (\frac { 1 }{ { x }+1 } -\frac { { x }^{ 2 }+2 }{ x^{ 2 }+4^{ x }2+8x+5 } ) } =\lim _{ x\rightarrow -1 }{ (\frac { 1 }{ { x }+1 } -\frac { { x }^{ 2 }+2 }{ x^{ 2 }+4^{ x }2+8x+5 } ) } \frac { x^{ 2 }+2 }{ x^{ 2 }+2 } =\\ \lim _{ x\rightarrow -1 }{ (\frac { x^{ 2 }+2 }{ x^{ 3 }+x^{ 2 }+2x+2 } -\frac { x^{ 4 }+2x^{ 2 }+4 }{ 4x^{ 4 }+10x^{ 3 }+14x^{ 2 }+16x+10 } ) } \underset { x\rightarrow -1 }{ \rightarrow  } \frac { 3 }{ 0 } -\frac { 7 }{ 2 } $$

Das Ergebnis is laut Wolframalpha 1. Kann hier jemand meine Fehler entdecken?

Comments

Warum \(4^x2\)?? Bzw. warum verschwindet das bei dir wieder?

Warum erweiterst du mit \(x^2+2\)?

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Wenn da im nenner 4^{x} steht sollte es nicht gegen 0 geheen das ganze?

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Sicherlich nicht.

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Achso nein es geht ja nicht gegen unendlich^^

In dem nicht einfacjmal einsetzten und falls durch o kommt oben und unten separat ableiten?

Dann wieser alles einsetzen?

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Mal den Titel der Frage gelesen?

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Ah ich hab das ohne überlesen^^

Dann muss man umformen? Sicherlich^^

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Ja, ich schätze mal der Aufgabensteller hat sich verschrieben und meinte anstatt \(4^x2\) eigentlich \(2x^4\).

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Das nehme ich auch an^^

Ich versuche es mal trotzdem ;)

Brauche ich hier gleicher nenner?

Ja oder?

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Oh sorry, ja ich habe mich da vertippt. Da sollte 4x^2 hin, statt dem 4^{x}2

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Steht da wirklich x^2 + 4x^2 ?

Statt 5x^2

Das klingt komisch oder?

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Nein, da würde dann stehen: x^3+4x^2+8x+5

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Ja hab mich vertan genausteht da es getrennt? ^&

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Da hatten sich oben ein paar Fehler eingeschlichen. Hier dann die Korrektur:

$$ \lim _{ x\rightarrow -1 }{ (\frac { 1 }{ x+1 } -\frac { x^{ 2 }+2 }{ x^{ 3 }+4x^{ 2 }+8x+5 } )(\frac { x^2+2 }{x^2+2  })  } = \dots =$$

$$\lim _{ x\rightarrow -1 }{ (\frac { x^2+2 }{ x^3+x^2+2x+2 } -\frac {x^4+2x^2+4 }{x^5+4x^4+10x^3+13x^2+16x+10} )} \underset {x \rightarrow -1 }{ \rightarrow  } \frac{3}{0}-\frac{7}{0} $$

Unknown: Lesbar gemacht

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mann kann es leider immer noch nicht gescheid sehen^^

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ich habs hinbekommen

ich poste es mal^^

danke unknown aber^^

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Der nenner des zweiten Terms geht gegen 1 + 1/2 - 8 + 5 ; was ist daran Spam?

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Was denkst du war der Sinn der Diskussion unter der Frage?

Answer 1

also^^

(1)/(x+1) - (x^{2}+2)/(x^{3}+4x^{2}+8x+5)

erweitern mit (x+1)(x^{3}+4x^{2}+8x+5)

dann haben wir

(x^{3}+4x^{2}+8x+5)-[(x^{2}+2)(x+1)] / (x+1)(x^{3}+4x^{2}+8x+5)

dann den zähler zsm rechnen

achtung vrzw!^^

(3x^{2}+6x+3)/(x+1)(x^{3}+4x^{2}+8x+5)

dann nach binom und faktordarstellung

(3(x+1)^{2})/((x+1)(x^{3}+4x^{2}+8x+5)

kürzen

(3(x+1)/(x^{3}+4x^{2}+8x+5)

(jetzt dank Unknown ^^ die umformung (hier hilft polynomdivision^^)

(3(x+1)/((x+1)(x^{2}+3x+5))

kürzen

(3)/(x^{2}+3x+5)

jetzt

Limes (x gegen -1) 3/((-1)^{2}+3(-1)+5)

ist gleich 3//(1-3+5) = 3/3= 1

Somit Ohne Hospital^^

yo is so^^

Comments

Da du ja sowieso die Faktorisierung vom Nenner des rechten Bruches gemacht hast, hättest du das ganze auch abkürzen können, indem du am Anfang den linken Bruch mit demTerm \(x^2+3x+5\) erweitert hättest.

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Yo stimmt, unknown hat mich auch darauf aufmerksam gemacht. Ich hatte vorher nicht an polonymdivision gedacht ;)

Trotzdem danke ;)