Warum sind zwei Vektoren genau dann orthogonal, wenn ||x+λy||>= ||x|| ∀λ ∈ R gilt?

Question

Hi, ich komme einfach nicht drauf, wie man diese Aussage beweisen kann.

"Zeigen Sie, dass zwei Vektoren x,y ∈ Rⁿ genau dann orthogonal sind, falls  ||x+λy||>=   ||x|| ∀λ ∈ R gilt."

Hat irgendwer Ideen?

Answer 1

Beweisrichtung 1: falls die beiden Vektoren orthogonal sind, gilt....

Wegen

$$\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$$

mit

$$\vert \vert \vec{a} \vert \vert = \sqrt{a_1^2 +a_2^2+...+a_n^2}= \sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a}}$$

und

$$\vec{a} \cdot ( \vec{b} + \vec{c} ) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$$

folgt für diesen Fall

$$\begin{aligned} \vert \vert \vec{x} + \lambda \vec{y} \vert \vert &=& \sqrt{ (\vec{x} + \lambda \vec{y})\cdot ( \vec{x} + \lambda \vec{y})} \\ &=& \sqrt{\underbrace{\vec{x} \cdot \vec{x}}_{\geq 0} + 2\lambda \cdot \underbrace{\vec{x} \cdot \vec{y}}_{=0}+ \underbrace{\vec{y} \cdot \vec{y}}_{\geq 0} } &\geq & \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}}= \vert \vert \vec{x} \vert \vert \\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}$$

Beweisrichtung 2: Falls gilt ..., dann sind die beiden Vektoren orthogonal.

Beweis durch Gegenbeweis: Falls gilt..., sind die beiden Vektoren nicht orthogonal.

Mit
$$\vec{x} \cdot \vec{y} \neq 0$$und
$$\vert \vert \vec{x} + \lambda \vec{y} \vert \vert \geq = \vert \vert \vec{x} \vert \vert \\$$
folgt

$$\vert \vert \vec{x} + \lambda \vec{y} \vert \vert=\sqrt{\underbrace{\vec{x} \cdot \vec{x}}_{\geq 0} + 2\lambda \cdot \underbrace{\vec{x} \cdot \vec{y}}_{ \neq 0}+ \underbrace{\vec{y} \cdot \vec{y}}_{\geq 0} } \geq \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}}$$
Wähle
$$\lambda = - \frac{\vec{y} \cdot \vec{y}}{\vec{x} \cdot \vec{y}}$$
Daraus folgt
$$\begin{aligned} \vert \vert \vec{x} + \lambda \vec{y} \vert \vert&=&\sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x} + 2 \cdot \left( - \frac{\vec{y} \cdot \vec{y}}{\vec{x} \cdot \vec{y}} \right) \cdot \vec{x} \cdot \vec{y}+ \vec{y} \cdot \vec{y} } \\ &=& \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x} - 2 \cdot \vec{y} \cdot \vec{y}+ \vec{y} \cdot \vec{y} } \\ &=& \sqrt{\underbrace{\vec{x} \cdot \vec{x}}_{\geq 0} - \underbrace{\vec{y} \cdot \vec{y}}_{\geq 0} }\ngeq \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}} = \vert \vert \vec{x} \vert \vert \\ \end{aligned}$$
Das ist ein Widerspruch, ausser es gilt

$$\vec{y} = \vec{0}$$
Der Fall ist aber trivial.

Gruß

Comments

Schöner mathematischer Beweis. DH

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Fehlt ein Faktor $\lambda^2$ ?

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Ja Du hast Recht. Der Faktor fehlt in beiden Richtungen. In der ersten macht es keinen Unterschied, da auch

$$\lambda ^2 \geq 0$$

In der Gegenrichtung muss es anders gewählt werden!

$$0 > 2 \lambda \cdot \vec{x} \cdot \vec{y} + \lambda^2 \cdot \vec{y} \cdot \vec{y}$$

Wähle

$$\lambda < 0$$

falls

$$\vec{x} \cdot \vec{y} > 0$$

Daraus folgt

$$\begin{aligned} 0 &>& 2 \lambda \cdot \vec{x} \cdot \vec{y} + \lambda^2 \cdot \vec{y} \cdot \vec{y} &&\qquad \vert : \lambda \\ 0 &<& 2 \cdot \vec{x} \cdot \vec{y} + \lambda \cdot \vec{y} \cdot \vec{y} \\ \lambda \cdot \vec{y} \cdot \vec{y} &>& - 2 \cdot \vec{x} \cdot \vec{y} &&\qquad \vert : \vec{y} \cdot \vec{y} \\ \lambda &=& - \frac{ \vec{x} \cdot \vec{y}}{\vec{y} \cdot \vec{y}}> - 2 \frac{ \vec{x} \cdot \vec{y}}{\vec{y} \cdot \vec{y}} \\ \end{aligned}$$

Das gleiche analog mit

$$\lambda > 0$$

falls

$$\vec{x} \cdot \vec{y} < 0$$

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Als info, man könnte λ = -x/y auswählen, für beide Fälle bekommt man dann ein Widerspruch: -2x² + x² ≥ 0

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Stimmt. Gruss

Answer 2

Zeichne dir einen Vektor x der Länge l in den Ursprung des Koordinatensystems.

Zeichne jetzt die Menge aller Punkte deren Ortsvektor die Länge l haben.

Welche Vektoren wären jetzt von einer Länge < l ?

Wenn du jetzt einen Vektor Y an die Pfeilspitze von Vektor X setzt. darf dieser nicht die die Menge der Punkte schneiden, deren Länge < l ist. Warum wäre da jetzt nur die Senkrechte zu X möglich?

Zeichne das ruhig mal auf um dir den Sachverhalt wirklich zu verdeutlichen.