quadratische Form in neuen Koordinaten

Question

das ist die Lösung zu der b, aber ich verstehe nicht wieso für x Ty gewählt wird

Wäre cool, wenn mir jemand diesen Schritt hier erklären würde..

ich habe hier stehen dass ein zweischaliges Hyperboloid  (x²/a²) + (y²/b²) - (z²/c²)+1=0 ist und den rest versteheh ich auch nicht.. was genau und wies0 macht man hier? ich war nicht da und die hochgeladenen Vorlesungen haben mir da nicht ganz weiter geholfen

danke im Voraus

Comments

Zu (b): Vermutlich sollst du die in (a) ermittelte Matrix diagonalisieren.

Answer 1

bei b) steht ja die neuen Koordinaten sind y und die alten sind x und T^-1  ist die Matrix, die aus den alten

die neuen macht, also     y = T^-1x    und  wenn du das von links mit T multiplizierst hast du Ty = x also kannst

du für x auch Ty einsetzen.

dass ein zweischaliges Hyperboloid  (x²/a²) + (y²/b²) - (z²/c²)+1=0 also musst du auf diese Form

kommen, um zu zeigen, dass hier eines vorliegt:

9z₁^2 + 3z₂^2 - 3z₃^2   + 3  = 0   | :3

3z₁^2 + z₂^2 - z₃^2   + 1  = 0   | :3

z₁^2 / (1/3) + z₂^2 - z₃^2   + 1  = 0  

passt also mit a=√/1/3)  b=1  und c=1   und der Rest ist die Anwendung von Teil a)

mit der dort bestimmten Diagonalmatrix.

Oder ist das herausfinden von A das Problem:

dann siehe https://www.mathelounge.de/11339/quadratische-form-f-5y-2-4xy-2z-3xz-8yz-in-matrixform-bringen

gibt A =

5   4    0 
4   3    -4
0   -4    1   

und x^T * A * x ist dann das mit der gelben geschweiften Klammer.