Finden Sie den Rang und die Signatur der quadratischen Form xTMx als Funktion der Zahlen …

Question

Aufgabe:

Sei

$$M=\left(\begin{array}{ccccc} b_{1} & b_{2} & b_{3} & \cdots & b_{n} \\ b_{2} & b_{2} & b_{3} & \cdots & b_{n} \\ b_{3} & b_{3} & b_{3} & \cdots & b_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n} & b_{n} & b_{n} & \cdots & b_{n} \end{array}\right)$$

Finden Sie den Rang und die Signatur der quadratischen Form $\mathbf{x}^{\mathrm{T}} M \mathrm{x}$ als Funktion der Zahlen $b_{1}-b_{2}, b_{2}-b_{3}, \ldots, b_{n-1}-b_{n}$ und $b_{n}$.

[Hinweis: Bringen Sie $M$ durch elementare symmetrische Umformungen in Diagonalgestalt.]

Ansatz:

Ich habe mir überlegt das wenn die Einträge der Matrix alle 1 wären, dann könnte man die Matrix auf Sylvestersche Normalform bringen. Aber hier stehe ich komplett auf dem Schlauch.

Answer 1

Hey MatheStuuudent, habt ihr das symmetrische Gausverfahren schon gehabt? Falls ja, kannst du einfach damit anfangen, die letzte Zeile/Spalte von der zweitletzten Zeile/Spalte abzuziehen. Dann ziehst du die letzte Zeile/Spalte von der drittletzten Zeile/Spalte ab usw. bis du die Matrix M diagonalisiert hast. Dann solltest du den Rang und die Signatur ablesen können.

Comments

Danke ! ich komme aber irgendwie nicht auf die richtige Lösung und schreibe morgen schon die Klausur. Kannst du mir bitte die Lösung geben ich bin am verzweifeln?