Aufgabe:
Sei
$$ M=\left(\begin{array}{ccccc} b_{1} & b_{2} & b_{3} & \cdots & b_{n} \\ b_{2} & b_{2} & b_{3} & \cdots & b_{n} \\ b_{3} & b_{3} & b_{3} & \cdots & b_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n} & b_{n} & b_{n} & \cdots & b_{n} \end{array}\right) $$
Finden Sie den Rang und die Signatur der quadratischen Form \( \mathbf{x}^{\mathrm{T}} M \mathrm{x} \) als Funktion der Zahlen \( b_{1}-b_{2}, b_{2}-b_{3}, \ldots, b_{n-1}-b_{n} \) und \( b_{n} \).
[Hinweis: Bringen Sie \( M \) durch elementare symmetrische Umformungen in Diagonalgestalt.]
Ansatz:
Ich habe mir überlegt das wenn die Einträge der Matrix alle 1 wären, dann könnte man die Matrix auf Sylvestersche Normalform bringen. Aber hier stehe ich komplett auf dem Schlauch.
