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Aufgabe:

Sei

$$ M=\left(\begin{array}{ccccc} b_{1} & b_{2} & b_{3} & \cdots & b_{n} \\ b_{2} & b_{2} & b_{3} & \cdots & b_{n} \\ b_{3} & b_{3} & b_{3} & \cdots & b_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n} & b_{n} & b_{n} & \cdots & b_{n} \end{array}\right) $$

Finden Sie den Rang und die Signatur der quadratischen Form \( \mathbf{x}^{\mathrm{T}} M \mathrm{x} \) als Funktion der Zahlen \( b_{1}-b_{2}, b_{2}-b_{3}, \ldots, b_{n-1}-b_{n} \) und \( b_{n} \).

[Hinweis: Bringen Sie \( M \) durch elementare symmetrische Umformungen in Diagonalgestalt.]

Ansatz:

Ich habe mir überlegt das wenn die Einträge der Matrix alle 1 wären, dann könnte man die Matrix auf Sylvestersche Normalform bringen. Aber hier stehe ich komplett auf dem Schlauch.

von

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Beste Antwort

Hey MatheStuuudent, habt ihr das symmetrische Gausverfahren schon gehabt? Falls ja, kannst du einfach damit anfangen, die letzte Zeile/Spalte von der zweitletzten Zeile/Spalte abzuziehen. Dann ziehst du die letzte Zeile/Spalte von der drittletzten Zeile/Spalte ab usw. bis du die Matrix M diagonalisiert hast. Dann solltest du den Rang und die Signatur ablesen können.

von

Danke ! ich komme aber irgendwie nicht auf die richtige Lösung und schreibe morgen schon die Klausur. Kannst du mir bitte die Lösung geben ich bin am verzweifeln?

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