Ermitteln Sie den Grenzwert : lim (sin(x) - x cos(x)) / (x^3) für x→0

Question

lim          (sin(x) - x cos(x)) / (x^3)

x→0

Habe versucht die Aufgabe mit L´Hospital zu lösen  doch komme nicht auf das "richtige" Ergebnis , es wäre nett wenn mir jemand mit einer etwas ausführlicheren Lösung aushelfen könnte damit ich meinen Fehler lokalisieren  kann.

Ich bedanke mich schon im Voraus für eure Hilfe.

Answer 1

(sin(x) - x cos(x)) / (x³)   ist Typ 0/0 also geht Hospital

gibt

x*sin(x) /  3x^2   kürzen

sin(x) / 3x   nochmal Hospital

cos(x) / 3   also Grenzwert 1/3.

Comments

+1 für kürzen :-)

Answer 2

Ermitteln Sie den Grenzwert :

Du mußt hier 3 mal L'Hospital anwenden

Answer 3

Ich wende dreimal Hôpital an:

$$ \lim\limits_{x\to0}\frac { sin(x)-xcos(x) }{ x^3 }\stackrel{H.}{=} \lim\limits_{x\to0}\frac { cos(x)-cos(x)+xsin(x) }{ 3x^2 }\stackrel{H.}{=} \lim\limits_{x\to0}\frac { sin(x)+xcos(x) }{ 6x }\stackrel{H.}{=} \lim\limits_{x\to0}\frac { cos(x)+cos(x)-xsin(x) }{ 6}=\frac{1}{3} $$