Standardabweichung mithilfe von Gauss Tabelle

Question

In einem Betrieb werden Metallstifte hergestellt, deren durchschnittliches Gewicht bei 6 g liegt. Die Standardabweichung beträgt 0,5 g. Die Gewichte aller hergestellten Metallstifte können als nomalverteilt angenommen werden. Wie groß ist der Anteil derjenigen Metallstifte, deren Gewicht zwischen 5,75 g und 6,25 g liegt? (Hinweis: Für x ≥ 0 gilt: Φ(−x) = 1−Φ(x))

Answer 1

Hi, der Anteil berechnet sich zu
$$\Phi\left(\frac { 6.25-6 }{ 0.5 }\right)-\Phi\left(\frac { 5.75-6 }{ 0.5 }\right) = \\\,\\\Phi\left(0.5\right)-\Phi\left(-0.5\right) = \\\,\\\Phi\left(0.5\right)-\left(1-\Phi\left(0.5\right)\right) = \\\,\\2\cdot\Phi\left(0.5\right)-1 = \\\,\\2\cdot\underline{0.6915}-1 = \\\,\\0.3830$$Der unterstrichene Wert ist der abgelesene.

Comments

Kannst du eine kurze Erklärung zu den Rechenschritten abgeben? Komme da nicht ganz mit.

Danke :)

---

Ok, ich versuche es mal:

Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die "Gewichte" (d.h. die Masse) eines Metallstiftes in Gramm. Ihre Werte sind gemäß Aufgabenstellung normalverteilt mit dem Mittelwert $6$ und der Standardabweichung $0.5$. Gefragt ist nach dem Anteil der Metallstifte mit einem Gewicht zwischen 5,75 g und 6,25 g. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit

$$P(5.75\le X \le 6.25) =$$Sie lässt sich durch die Differenz

$$P(X \le 6.25) - P(X \le 5.75) =$$darstellen. Die beiden oberen Grenzen können nun durch  die beiden Transformationen $-6$ und $/0.5$ auf die Verhältnisse der Standardnormalverteilung mit Mittelwert $0$ und Standardabweichung $1$ umgerechnet werden:

$$\Phi\left(\frac { 6.25-6 }{ 0.5 }\right)-\Phi\left(\frac { 5.75-6 }{ 0.5 }\right) = \\\,\\\Phi\left(0.5\right)-\Phi\left(-0.5\right) =$$Der erste Wert kann bereits den üblichn Tabellen der Standardnormalverteilung entnommen werden, der zweite kann, dem Hinweis zur Symmetrie der Normalverteilung aus der Angabe folgend umgerechnet werden zu

$$\Phi\left(0.5\right)-\left(1-\Phi\left(0.5\right)\right) =$$Zusammengefasst, abgelesen und ausgerechnet ergibt das

$$2\cdot\Phi\left(0.5\right)-1 = \\\,\\2\cdot\underline{0.6915}-1 = \\\,\\0.3830$$Ich hoffe, das macht es etwa klarer.