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In einem Betrieb werden Metallstifte hergestellt, deren durchschnittliches Gewicht bei 6 g liegt. Die Standardabweichung beträgt 0,5 g. Die Gewichte aller hergestellten Metallstifte können als nomalverteilt angenommen werden. Wie groß ist der Anteil derjenigen Metallstifte, deren Gewicht zwischen 5,75 g und 6,25 g liegt? (Hinweis: Für x ≥ 0 gilt: Φ(−x) = 1−Φ(x))

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Hi, der Anteil berechnet sich zu
Φ(6.2560.5)Φ(5.7560.5)=Φ(0.5)Φ(0.5)=Φ(0.5)(1Φ(0.5))=2Φ(0.5)1=20.69151=0.3830 \Phi\left(\frac { 6.25-6 }{ 0.5 }\right)-\Phi\left(\frac { 5.75-6 }{ 0.5 }\right) = \\\,\\\Phi\left(0.5\right)-\Phi\left(-0.5\right) = \\\,\\\Phi\left(0.5\right)-\left(1-\Phi\left(0.5\right)\right) = \\\,\\2\cdot\Phi\left(0.5\right)-1 = \\\,\\2\cdot\underline{0.6915}-1 = \\\,\\0.3830Der unterstrichene Wert ist der abgelesene.
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Kannst du eine kurze Erklärung zu den Rechenschritten abgeben? Komme da nicht ganz mit.

Danke :)

Ok, ich versuche es mal:

Die Zufallsgröße XX beschreibe die "Gewichte" (d.h. die Masse) eines Metallstiftes in Gramm. Ihre Werte sind gemäß Aufgabenstellung normalverteilt mit dem Mittelwert 66 und der Standardabweichung 0.50.5. Gefragt ist nach dem Anteil der Metallstifte mit einem Gewicht zwischen 5,75 g und 6,25 g. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit

P(5.75X6.25)= P(5.75\le X \le 6.25) = Sie lässt sich durch die Differenz

P(X6.25)P(X5.75)= P(X \le 6.25) - P(X \le 5.75) = darstellen. Die beiden oberen Grenzen können nun durch  die beiden Transformationen 6-6 und /0.5/0.5 auf die Verhältnisse der Standardnormalverteilung mit Mittelwert 00 und Standardabweichung 11 umgerechnet werden:

Φ(6.2560.5)Φ(5.7560.5)=Φ(0.5)Φ(0.5)= \Phi\left(\frac { 6.25-6 }{ 0.5 }\right)-\Phi\left(\frac { 5.75-6 }{ 0.5 }\right) = \\\,\\\Phi\left(0.5\right)-\Phi\left(-0.5\right) = Der erste Wert kann bereits den üblichn Tabellen der Standardnormalverteilung entnommen werden, der zweite kann, dem Hinweis zur Symmetrie der Normalverteilung aus der Angabe folgend umgerechnet werden zu

Φ(0.5)(1Φ(0.5))= \Phi\left(0.5\right)-\left(1-\Phi\left(0.5\right)\right) = Zusammengefasst, abgelesen und ausgerechnet ergibt das

2Φ(0.5)1=20.69151=0.3830 2\cdot\Phi\left(0.5\right)-1 = \\\,\\2\cdot\underline{0.6915}-1 = \\\,\\0.3830 Ich hoffe, das macht es etwa klarer.

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