Wie kann ich Bild-Kern-Projektion bestimmen

Question

pr_u : V -> U

Bild(pr_u) = u

Kern(pr_u) = u^⊥ 

Ich soll beweisen, dass Bild(pru) = u und Kern(pur) u^⊥.

Für pr_u: V→U und eine Untermenge definiert man:

ker(pru) := {v∈V| pru(v) = 0} als Kern von f und

Im(pru) := {w∈W| ∃v∈V: f(v)=w} als Bild von U.

Aber, ker(pru) = {0}.. Wie kann ich beweisen, dass Bild(pru) = u

Kern(pru) = u^⊥

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Beweis für Bild(pr_u) = u und Kern(pr_u) = u^⊥

Um zu zeigen, dass das Bild von $pr_u$ gleich $u$ ist und der Kern von $pr_u$ gleich dem orthogonalen Komplement von $u$ ist, betrachten wir die Definitionen und arbeiten mit den Eigenschaften von Projektionen in Vektorräumen. Es scheint, dass einige Informationen über $pr_u$ und die genaue Natur von $V$, $U$, und $W$ fehlen, aber ich werde eine allgemeine Erklärung basierend auf den üblichen Annahmen über lineare Abbildungen und Projektionen bereitstellen.

Bild von $pr_u$ = u:

Zuerst, der Satz "Bild($pr_u$) = u" ist möglicherweise nicht genau so gemeint, denn $u$ sollte ein Element eines Vektorraums und nicht ein Unterraum oder ein Bild sein. Stattdessen interpretieren wir die Aussage so, dass das Bild von $pr_u$ der Unterraum ist, der von $u$ aufgespannt wird, falls $u$ eine Basis von $U$ ist, oder präziser, dass es im Falle von $U$ ein eindimensionaler Raum ist.

- Das Bild von $pr_u$ umfasst alle Vektoren, die auf $u$ oder auf den von $u$ aufgespannten Unterraum projiziert werden können.
- Wenn $pr_u$ die Projektion von $V$ auf $U$ entlang irgendeines Komplements ist, dann ist jedes Element im Bild dieser Projektion vollständig in $U$ enthalten. Das bedeutet, das Bild von $pr_u$ ist $U$ selbst, wenn $u$ eine Basis von $U$ ist oder präziser, der von $u$ aufgespannte Unterraum.

Kern von $pr_u$ = u^⊥:

- Der Kern von $pr_u$ besteht aus allen Vektoren in $V$, die zu $0$ in $U$ projiziert werden. Formal, $\text{ker}(pr_u) = \{v \in V | pr_u(v) = 0\}$.
- Ein Vektor $v$ wird genau dann zu $0$ projiziert, wenn $v$ orthogonal zu allen Vektoren in $U$ ist, wegen der Definition der orthogonalen Projektion. Deshalb ist jeder Vektor im Kern von $pr_u$ orthogonal zu $u$ (und zu jedem Vektor in $U$, falls $U$ mehr als eindimensional ist), was bedeutet, dass $\text{ker}(pr_u)$ gleich dem orthogonalen Komplement $u^{\perp}$ ist.

Zusammenfassung:

Um zu beweisen, dass das Bild von $pr_u$ gleich $U$ (oder genauer, dem von $u$ aufgespannten Unterraum) und der Kern von $pr_u$ gleich $u^{\perp}$ ist, muss man sich auf die Definitionen der Bild- und Kernprojektionen sowie auf die geometrische Interpretation von Projektionen in Vektorräumen stützen. Insbesondere ist der Kern die Menge aller Vektoren, die orthogonal zum Zielpunkt $u$ (oder Unterraum $U$) sind, was das orthogonale Komplement $u^{\perp}$ ergibt.