Kern(f) orthogonal auf Bild(f)

Question

Aufgabe:

Die lineare Abbildung f: ℝ^(nxn)xℝ^(nxn) → Sym(n,ℝ), A ↦ $\frac{A+A^T}{2}$

Ich soll zeigen, dass der Kern(f)⊥Bild(f) ist

Problem/Ansatz:

Ich weis, dass bei der Orthogonalität gilt: <x,y>=0 oder das eine Matrix orthogonal ist wenn gilt: A^T*A=E. Leider weiß ich aber nicht wie ich diese Definitionen auf die Aufgabe anwenden soll. Hat jemand einen Tipp wie ich starten kann?

Answer 1

Hallo,

bestimme Kern und Bild:

Kern:

f(A)=0

A+A^T =0

A=-A^T

Das ist der Raum der antisymmetrischen Matrizen.

Bild(f)= Raum der symmetrischen Matrizen

Ich weis, dass bei der Orthogonalität gilt: <x,y>=0

Das ist richtig, nur das hier x,y Matrizen sind. Als Skalarprodukt nimmst du das

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Frobenius-Skalarprodukt

Tipp: für Antisymmetrische Matrizen A gilt

A_ij=-A_ji und für symmetrische Matrizen B gilt B_ij = B_ji

Comments

Was ist der Raum einer Symmetrischen Matrix? Gibt es dafür eine Definition oder ist das die gleiche Definition wie beim Bild?

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Eine Matrix X ist per Definition symmetrisch, wenn X=X^T gilt.

In der Aufgabe ist bereits gegeben, dass die Abbildung f auf den Wertebereich W=Sym(n,R)

(= Raum der symmerischen nxn Matrizen)

abbildet. Du kannst nachrechnen, dass

X=(A+A^T )/2 eine symmetrische Matrix ist. Damit ist W=Bild(f)

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Ich habe jetzt folgendes geschrieben:

Kern(f)= A=-A^T

Bild(f)= A=A^T

für A muss gelten AA^T=E_n

also:

-A^T*A^T= (-AA)^T=(E_n)^T=E_n

ist es damit bewiesen?