Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c so, dass diese Funktion in x_{1} = 1 differenzierbar ist

Question

Es sei eine Funktion f(x) definiert durch

f(x) = x für x ≤ 1

und

f(x) = ax^2 + bx + c für x > 1

Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c so, dass diese Funktion in x_{1} = 1 differenzierbar ist und außer in x_{0} = 0 eine weitere Nullstelle in x_{2} = 2 hat.

Skizzieren Sie den Kurvenverlauf zwischen den beiden Nullstellen.

Ich benötige drei Bedingungen um die variablen der Funktion zu bestimmen. Ich komme aber nur auf zwei Bedingungen. Könnt ihr mir helfen? Die Ergebnisse sind für a=-2 b=5 und c= -2

Answer 1

Du brauchst

f_{1}(1) = f_{2} (1)

und

f_{1} ' (1) = f_{2} ' (1)

f_{1}(x) bedeutet: linker Teil der Funktion

f_{2} (x) bedeutet: rechter Teil der Funktion

f_{1}(x) = x

f_{1}'(x) = 1

f_{2}(x) = ax^2 + bx + c

f_{2}'(x) = 2ax + b

Deshalb:

f_{1}(1) = f_{2} (1)

1 = a + b + c              (II)

und

f_{1} ' (1) = f_{2} ' (1)

1 = 2a + b                  (III)

Answer 2

Für den linken Teil der Funktion, also x <= 1, gilt
f ( x ) = x
f ( 1 ) = 1
f ´( 1 ) = 1 ( 45 ° )
f ( 0 ) = 0  ( ein Nullpunkt )

Für den rechten Teil der Funktion, also x > 1, gilt
f ( x ) = a*x^2 + b*x + c
f ( 1 ) = 1 ( gemeinsamer Punkt )
f ´( 1 ) = 1 ( gemeinsame Steigung = Differenzierbarkeit )
f ( 2 ) = 0 ( der weiterer Nullpunkt )

f ( x ) = a*x^2 + b*x + c
f ( 1 ) = a + b + c = 1
f ( 2 ) = 4 * a + 2 * b + c = 0
f ´( x ) = 2*a*x + b
f ´( 1 ) = 2*a + b = 1

a + b + c = 1
4 * a + 2 * b + c = 0
2*a + b = 1

3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Schaffst du die Lösung ?

Zur Kontrolle

f ( x ) = -2*x^2 + 5 * x -2

~plot~ ( x < 1 ) * x + ( x > 1 ) * (-2*x^2 + 5 * x -2 ) ~plot~