Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c so, dass diese Funktion in x1 = 1 differenzierbar ist

Question

Es sei eine Funktion f(x) definiert durch

f(x) = x für x ≤ 1

und

f(x) = ax² + bx + c für x > 1

Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c so, dass diese Funktion in x₁ = 1 differenzierbar ist und außer in x₀ = 0 eine weitere Nullstelle in x₂ = 2 hat.

Skizzieren Sie den Kurvenverlauf zwischen den beiden Nullstellen.

Ich benötige drei Bedingungen um die variablen der Funktion zu bestimmen. Ich komme aber nur auf zwei Bedingungen. Könnt ihr mir helfen? Die Ergebnisse sind für a=-2 b=5 und c= -2

Answer 1

Du brauchst

f₁(1) = f₂ (1)

und

f₁ ' (1) = f₂ ' (1)

f₁(x) bedeutet: linker Teil der Funktion

f₂ (x) bedeutet: rechter Teil der Funktion

f₁(x) = x

f₁'(x) = 1

f₂(x) = ax² + bx + c

f₂'(x) = 2ax + b

Deshalb:

f₁(1) = f₂ (1)

1 = a + b + c              (II)

und

f₁ ' (1) = f₂ ' (1)

1 = 2a + b                  (III)

Answer 2

Für den linken Teil der Funktion, also x <= 1, gilt
f ( x ) = x
f ( 1 ) = 1
f ´( 1 ) = 1 ( 45 ° )
f ( 0 ) = 0  ( ein Nullpunkt )

Für den rechten Teil der Funktion, also x > 1, gilt
f ( x ) = a*x² + b*x + c
f ( 1 ) = 1 ( gemeinsamer Punkt )
f ´( 1 ) = 1 ( gemeinsame Steigung = Differenzierbarkeit )
f ( 2 ) = 0 ( der weiterer Nullpunkt )

f ( x ) = a*x² + b*x + c
f ( 1 ) = a + b + c = 1
f ( 2 ) = 4 * a + 2 * b + c = 0
f ´( x ) = 2*a*x + b
f ´( 1 ) = 2*a + b = 1

a + b + c = 1
4 * a + 2 * b + c = 0
2*a + b = 1

3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Schaffst du die Lösung ?

Zur Kontrolle

f ( x ) = -2*x^2 + 5 * x -2

~plot~ ( x < 1 ) * x + ( x > 1 ) * (-2*x^2 + 5 * x -2 ) ~plot~