Beweisen Sie, dass es unendliche viele Matrizen X gibt mit: X^2 = Einheitsmatrix

Question

Beweisen Sie, dass es unendliche viele Matrizen X ∈ M(2, ℤ) mit: \( X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) gibt.

Nur wie ich das machen soll, weiß ich nicht.

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Das müssten ja (neben der Identität) alles Spiegelungen sein. Oder nicht?

((1 0)(01))

((01)(10))

((0-1)(-1 0))

Fortsetzung in der Antwort.

Answer 1

Algebraischer Ansatz, um unendlich viele der verlangten Matrizen zu konstruieren.

((a,b),(c,d))((a,b)(c,d)) = ((1,0), (0,1))

I:   a² + bc = 1

II:  ab + bd = 0

III:  ca + dc = 0

IV:  cb + d² =0

I. und IV. ---> a² = d²

II.' c(d+a) = 0

III.' b(d+a) = 0

Also d = -a

Jetzt noch wegen I: cb = 1-a²

cb = (1 - a)(1+ a)

Resultat ((a , (1+a)), (1-a), -a)) sind schon unendlich viele solche Matrizen, a Element Z.

Genügt.

Probe ((a , (1+a)), (1-a), -a)) *((a , (1+a)), (1-a), -a)) =

((a² + (1+a)(1-a), a(1+a) - a(1+a)), (((1-a)a - a(1-a), (1-a)(1+a) + a²)

= ((1,0),(0,1)) ok.

Comments

was sagt dieser Algebraischer Ansatz  aus ? 

Bei Google konnte ich leider keinen richtigen Artikel darüber finden . Und in der Vorlesung hatten wir es auch nicht gemacht.

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wir haben Algebraische Form der komplexen Zahlen gemacht. ich weiß grade nicht wie ich es im bezug auf diese aufgabe anwenden soll.

Und ich verstehe Ihren Ansatz nicht ganz. Was Sie danach gemacht haben, verstehe ich, aber wie sind Sie auf den Ansatz gekommen?

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ah SIe haben einfach für X:=( a b c d ) gesetzt . => X^2 = (a b c d )*(a b c d)

und dann einfach X^2 = ( 1 0 0 1) gleichgesetzt und nach a b c d aufgelöst. richtig ?

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und wie sind Sie auf "Also d = -a" gekommen?

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d=-a habe ich jetzt auch raus.

Wie sind Sie auf (1+a)), (1-a) gekommen ?

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cb = (1 - a)(1+ a)

kann man auflösen auf

c=1-a und b = 1+a 

und schon hat man (wie verlangt) unendlich viele Resultate. 

Ergänze vielleicht noch drei Klammern in der resultierenden Matrix:

Resultat (((a , (1+a)), ((1-a), -a)))

Das soll ja eine Matrix sein. 

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wie kommt man auf d=-a ?

Das ist mir leider nicht ersichtlich....

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IV:  cb + d² =1

sollte eigentlich eine 1 sein. 

I. und IV. ---> a² = d²

II.' c(d+a) = 0

III.' b(d+a) = 0

Verstehst du nun diese 3 Zeilen?

Wenn b und c nicht beiden 0 sein sollen, muss nun gelten d =  -a.

Das Obige sind ja keine zwingenden Folgerungen. Es sollen einfach mal unendlich viele Matrizen konstruiert werden. Mehr Matrizen sind immer erlaubt.

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Für den Fall, dass c und b gleich null sind, sind a und d aus {1, -1} zu wählen. (Folgt aus I und IV des Gleichungssystems.)

Answer 2

Ganz einfach; mach dich mal schlau über ===> Paulimatrizen, wie man die quadriert. Die verhalten sich echt wie Vektoren; du gehst aus von S1 und S3



     S  (  ß  )  :=  S1  cos  (  ß  )  +  S3  sin  (  ß  )

Comments

Doch; zu deinem Kommentar. Ich bin sicher, dass du in wiki alles Nötige über Paulimatrizen findest.

Steht übrigens auch in allen QM Lehrbüchern drin.

Ich glaube bei Paulimatrizen wirst du nie fragen, was die aussagen - die machen auch sonst sehr viel Freude. Das sind einfach Spinkomponenten in der QM ; sie verhalten sich auch algebraisch genau so.