Lösen Sie die folgende Ungleichung: (x-1)/(x+1) <1 , x≠-1

Question

Hallo , es handelt sich um folgende Ungleichung

x-1/x+1 <1  (x≠-1)

Ich habe es mit Fallunterscheidung nach der Multiplikation mit (x+1) versucht, komme jedoch beim positven Fall auf einen Widerspruch und beim negativen auf x<0.

In den Lösungen wird die Fallunterscheidung nur als Alternative betitelt. Dort wurde der Bruch anscheinend irgendwie erweitert , nur ich blicke nicht wie. Lösung wie folgt :

(x-1)/(x+1) = ((x+1)-2) / (x+1) = 1- (2/(x+1)) <1                    <- Wie zum Geier kommen die darauf ?

Gruß

Answer 1

Der Bruch wude nicht "irgendwie erweitert", sondern zerlegt und dann teilweise gekürzt!

$$\frac {x-1} {x+1} = \frac {x+1-2} {x+1} = \frac {x+1} {x+1} - \frac {2} {x+1} = 1 - \frac {2} {x+1}.$$

Comments

Danke ! Sei mir nicht böse , aber wie hast du gekürzt ? Man darf doch nur Produkte kürzen , (x+1) ist kein Produkt... .

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Man kann hier den kompletten Nenner mit dem kompletten Zähler kürzen. Das geht, unabhängig davon, wie beide genau beschaffen sind, immer, solange beide gleich sind.

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Ich habe in die Rechnung oben nach dem Abschicken noch einen Schritt hinzugefügt, das macht es vielleicht verständlicher.

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Danke , sehe grad ,dass das Thema der 8. Klasse war *schäm*

Answer 2

Und noch zu Ende gelöst

1- (2/x+1) <1  | - 1
- ( 2 / ( x +1 ) < 0  | * -1
2 / ( x + 1 ) > 0

Ist dann richtig falls
x +1 > 0
x > -1