die Antwort von Grosserloewe ist korrekt, erklärt aber nichts weiter.
Ich möchte daher hier versuchen eine allgemeine "mathematische" Antwort und eine "logische" zu geben, die speziell dieses Problem beschreiben.
mathematisch:
$$ {n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} $$
Du hast hier nach einem der Spezialfälle gefragt und zwar gilt
$$ {n \choose 1} = {n \choose n-1} $$
$$ {n \choose 1} = \frac{n!}{1! \cdot (n-1)!}= \frac{n!}{(n-1)! \cdot 1!} = \frac{n!}{(n-1)! \cdot (n-n+1)!} $$
$$ = \frac{n!}{(n-1)! \cdot (n-(n-1))!}={n \choose n-1} = n $$
logisch:
Es ist das gleiche ob man sich überlegt wie viele Gruppen man von n-1 Personen aus einer n Personen großen Gruppe bilden kann, oder ob man sich überlegt, wieviele verschiedene Möglichkeiten es gibt 1 Person wegzulassen. Immer sind es genau n.
Etwas anders erklärt, wenn ich n-1 aus n auswähle, habe ich für einen weiteren Zug keine Wahl mehr. Ich müsste das letzte verbleibende Element nehmen. Also ist die Gesamtzahl aller Elemente, nämlich n, auch die Anzahl der Möglichkeiten, da das letzte nur eines der n Elemente sein kann.
Falls noch Interesse besteht gerne weiterlesen, aber es könnte zuviel Information auf einmal werden, so zu sagen ein Overkill :-)
Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks kann man die binomischen Formel für (a+b)
n relativ gut herleiten ohne sie auswendig zu kennen, da das PD die Binomialkoeffizienten abbildet. (Die Summenformel für die "allgemeine" Binomische Formel findet man bei Wiki.)
Pascal'sches Dreieck:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...
Es gilt n über k entspricht Zeile (n+1) und Eintrag (k+1), anders ausgedrückt Start ist für n=0 und k=0.
Damit gitl für die Reihe 1 2 1: 2 über 0 = 1; 2 über 1 = 2 und 2 über 2 = 1.
Für 1 3 3 1 analog: 3 über 0 = 1; 3 über 1 = 3; 3 über 2 = 3; 3 über 3 = 1
Hier kann man anschaulich sehen, dass man die meisten Möglichkeiten hat k aus n zu wählen, wenn k möglichst nahe an n/2 liegt.
Weiterhin zeigt das PD die "mathematische" Antwort. Man kann, genau wie oben schon für k=1 gezeigt, sehen, dass gilt
$$ {n \choose k} = {n \choose n-k} $$
Der Beweis ist genau gleich dem für k=1.
Gruß
