gegeben ist eine kurvenschar fa(x)=a-1/3 x^3 -ax

Question

Hallo :)

Es geht um die Kurvendiskussion  dieser Funktion, genauer um die Frage für welche a Element IR es mehr als einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt. Ich habe den therm nun einfach gleich Null gesetzt , wie für eine ganz normale nullstellen Berechnung auch, aber mir gelingt es nicht sinnvoll aufzulösen.. 

Gibt es irgendetwas spezielles, was ich beachten muss und mich gerade daran hindert, das richtig aufzulösen?

Answer 1

Wenn es keine Extremstellen gibt, gibt es jedenfalls nur einen SP mit der x-Achse.

F '(x) = 0 hat aber nur Lösungen a < 0 .

Und wenn du die y-Werte der Extrempunkte vergleichst, müssten die  bei mehreren Nullstellen

unterschiedliches Vorzeuichen haben.

Comments

Ich glaube, das ist für x<-2,5 der Fall.

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Mein Problem ist ja, dass ich nicht nach dem gefragten a auflösen kann :(

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Die gegebene Antwort ist im Kern richtig. Am besten stellst du Vertreter der Schar für     a = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 im Display deines GTR dar (oder hast du sogar ein CAS-Programm?). Dann siehst du, wie der Hase läuft. Für a≤-9/4 ergibt sich jeweils mehr als eine Nullstelle. Um das Herauszufunden, berechnest du die x Koordinate des Maximums x_E =√(- a) und schaust, wann f(x_E)>0.

Answer 2

Hi,

Du hast die Funktion f und ihre Ableitung f':

$$ { f }_{ a }(x)=-\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }-ax+a\\ { f }_{ a }'(x)=-{ x }^{ 2 }-a $$

Berechnen wir mal die Nullstellen der Ableitung:

$$ { f }_{ a }'(x)=0\\ -{ x }^{ 2 }-a=0\\ \Rightarrow { x }_{ 1,2 }=\pm \sqrt { -a }  $$

Wir sehen also ganz klar, dass die Ableitung nur für a≤0 reelle Nullstellen besitzt. Der y-Achsenabschnitt deiner Funktion beträgt a.

Wir betrachten nun erstmal den Fall a>0. Die Ableitung hat keine Nullstellen, ist damit auch stets negativ. Was bedeutet dies für die Anzahl unserer Nullstellen der Funktion f? Ganz einfach: Der Graph beginnt bei (0|a) und besitzt dann für jedes x eine negative Steigung. Dies bedeutet, dass der Graph nur eine Nullstelle besitzen kann (Für 2 Nullstellen müsste der Graph nach der ersten Nullstelle wieder ansteigen). Wir haben für a>0 also nur eine einfache (reelle) Nullstelle.

Für a=0 erhalten wir für x=0 eine dreifache Nullstelle.

Nun betrachten wir a<0 die Steigung des Graphen kann nun auch positiv werden! Das ist relevant nun besteht die Chance auf 2 oder sogar 3 Nullstellen. Der Graph hat nun auch einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt.

Die zweite Ableitung ist f''(x)=-2x.

$$x=+\sqrt { -a } \rightarrow Hochpunkt\\ x=-\sqrt { -a } \rightarrow Tiefpunkt$$

Berechnen wir den Funktionswert des Hochpunkts.

$${ f }_{ a }(\sqrt { -a } )=-\frac { 1 }{ 3 } { \sqrt { -a }  }^{ 3 }-a\sqrt { -a } +a=\frac { 1 }{ 3 } a\sqrt { -a } -a\sqrt { -a } +a=-\frac { 2 }{ 3 } a\sqrt { -a } +a$$

So nun stellen wir uns die Frage. Für welches a ist dieser Funktionswert f(√-a)<0 (wir haben immer noch nur eine einfache reelle Nullstelle) oder wann ist f(√-a)=0, dann haben wir eine einfache und eine zweifache Nullstelle. Oder wann ist f(√-a)>0, denn dann haben wir sogar 3 einfache Nullstellen.

$$ 0=-\frac { 2 }{ 3 } a\sqrt { -a } +a\quad |a\quad ausklammern\\ 0=a(-\frac { 2 }{ 3 } \sqrt { -a } +1)\quad |:a\\ 0=-\frac { 2 }{ 3 } \sqrt { -a } +1\quad |-1\\ -1=-\frac { 2 }{ 3 } \sqrt { -a } \quad |()²\\ 1=-\frac { 4 }{ 9 } a\quad \Rightarrow \quad a=-\frac { 9 }{ 4 }  $$

Zusammenfassung:

a>0: eine einfache Nullstelle

a=0 eine dreifache Nullstelle

-9/4<a<0 eine einfache Nullstelle

a=-9/4 eine einfache und eine zweifache Nullstelle

a<-9/4 drei einfache Nullstellen

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß