Betrachte die Funktion f: [1, ∞) →ℝ, f(x):=(x^2 + 1)/(x^3 + x + 2). Begründen Sie, dass f stetig ist.

Question

Betrachte die Funktion f: [1, ∞) →ℝ mit

$$f ( x ) = \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 3 } + x + 2 }$$

a) Begründen Sie, dass f auf [1, ∞) stetig ist mit \( \lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x ) = 0 \).

b) Argumentieren Sie, dass f auf [1, ∞) ein Maximum annimmt. (Differenzieren nicht erlaubt).

Answer 1

x^3 + x + 2 hat eine Nullstelle in x=(-1)

(x^3 + x + 2) / (x+1) = x^2 - x + 2

-(x^3 + x^2)

---------------

 -x^2

-(-x^2 - x)

---------------

2x

2x+2

--------

        0

x^2 - x + 2 = 0 hat keine Lösung da 1 - 8 < 0

Folgerung:

a) ausser in x=-1 ist f(x) überall stetig.

Lim(x--> unendlich) (x² + 1)/(x³ + x + 2) = 

                       |oben und unten durch x^3

Lim(x--> unendlich) (1/x + 1/x^3)/(1 + 1/x^2 + 2/x^3)

=  (0+0)/ (1 + 0 +0) = 0

b) f(1)= (1² + 1)/(1³ + 1 + 2) = 2/4

Lim(x--> unendlich) (x² + 1)/(x³ + x + 2) =  0

Aufgrund der Stetigkeit muss es auf [1,∞) ein Maximum geben.

Zur Kontrolle: Hier noch ein Ausschnitt aus dem Graphen: